2017考研数学:透过历年真题读懂大纲

最后更新时间:2016-08-26 13:04:06
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  考研数学大纲是考研复习的权威依据。它针对每一部分内容规定了“考试内容”和“考试要求”。不过,只看考纲恐怕不能完整把握考研要求。如考纲提到“掌握极限的性质及四则运算法则”,这提醒考生极限的性质和四则运算法则是重要考点,须掌握。可是考试到底怎么考?要达到什么程度(会做哪几类题)才算掌握?光盯着考纲看是得不到让人满意的答案的。怎么办?把历年真题请出来就好了:找出历年真题中与极限性质四则运算法则相关的考题。解题,分析题,总结题,答案就浮出水面了。换句话说:考纲和真题双剑合璧,才能完整把握考研数学的要求。下面笔者和考生一起结合真题读考纲。>>>更多大纲信息点击咨询名师

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  一、函数、极限、连续

模块

考试内容

真题题型

函数

定义

建立函数关系(如数三根据经济背景列出利润的函数关系式)。

运算(四则运算、复合、反函数)

1.求复合函数或某函数的反函数的解析式。
2.结合函数运算判断函数的性质(如“连续加连续=连续,连续+间断=间断”)。

性质(有界性、单调性、周期性、奇偶性)

1.单独以选择题的形式考察函数是否具有该性质。
2.运算过程中利用该性质化简(如无穷小乘以有界量等于无穷小量,奇函数在对称区间积分值为零)。

分类(基本初等函数、初等函数、分段函数、隐函数、参数方程定义的函数、变上限积分函数)

识别各类函数,并作进一步讨论(如识别该函数为隐函数,并求导数)。

极限

定义(数列极限、函数极限、左极限、右极限、无穷小、无穷大)

概念题。

性质(唯一性、有界性、保号性)

有界性考概念题,保号性结合其他考点(极值、拐点、级数)考查。

计算(四则运算法则、洛必达法则、等价无穷小替换、夹逼定理、单调有界必有极限原理、重要极限、泰勒公式)

极限计算是必考题。

连续

定义

根据定义判断函数在一点、开区间以及闭区间的连续性。

间断点

求给定函数的间断点(找“可疑点”,再按照间断点的分类标准一一判断)。

初等函数的连续性

利用初等函数的定义识别初等函数,并利用此处的结论判断其连续性。

闭区间上连续函数的性质

用此处结论(最值定理、介值定理、零点定理)做中值相关证明题 。

  二、一元函数微分学

模块

考试内容

真题题型

导数定义

导数定义

凑定义算极限、可导的充要条件。

微分定义

由微分定义得出的微分的计算公式。

可导、可微、连续之间的关系

分段点处的连续性与可导性。

导数计算

求导公式、法则

求一元函数导数,求多元函数的偏导数。

常考类型

幂指函数求导、参数方程确定的函数求导和隐函数求导。求高阶导数。

导数应用

切线与法线

求切线方程、法线方程以及曲线相切问题。

单调性

求函数的单调区间或证明函数的单调性,不等式证明,根或零点问题。

极值

找极值点或极值(利用极值的必要条件和充分条件)。

凹凸性

求函数的凹凸区间或判断函数的凹凸性。

拐点

找拐点(利用拐点的必要条件和充分条件)。

渐近线、曲率

求函数的渐近线(用渐近线的定义)。数一数二要求会用曲率的计算公式算曲率,利用曲率圆和曲率半径的概念解题。

中值定理

中值定理(费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)

中值相关证明(从待证式子出发,分析选择哪类定理(连续相关定理、微分相关定理、积分相关定理))。用泰勒公式算极限。

  三、一元函数积分学

模块

考试内容

真题题型

不定积分

原函数与不定积分

根据原函数与不定积分的关系求不定积分。

性质

利用性质化简不定积分。

计算

考查凑微分法、根式的处理、分部积分法。有理函数积分,三角有理式的积分,指数有理式的积分。

定积分

定义

利用定义算极限(先由定积分的定义推出基本公式,在将所求极限凑成公式的形式(可分两步走“凑i/n”,“提1/n”),再将极限化为定积分,通过算定积分间接算极限)。利用定义体现的微元法思想处理应用问题。

性质

利用性质对定积分变形。单独考查比较定理(考研考查定积分的比较本质上都在考查比较定理)。

微积分基本定理

变限积分求导定理的证明。利用变限积分求导定理求变限积分的导数(由变限积分和另一函数构造的复合函数,被积函数同时含有积分变量和求导变量)。利用牛顿莱布尼茨公式计算定积分。

定积分应用

几何应用

平面图形的面积(直角坐标系下曲边梯形的面积和极坐标系下曲边三角形的面积),简单几何体的体积(包括旋转体的体积)。数一数二考查曲线弧长和旋转体的侧面积。几何应用侧重套公式计算。

物理应用

数一数二考查变力做功,形心质心和液体的静压力(利用微元法推出基本公式)。物理应用侧重套利用微元法推导。

广义积分

定义

利用定义判断广义积分的敛散性。

计算

计算广义积分(可视为“定积分+取极限”)。

  同学们在学习每一个知识点的过程中,要做好笔记。对于自己不理解的地方要标记出来,便于后期进行查漏补缺。每做完一道题目,要明白其解题思路,对于解题过程中所用到的方法、技巧进行归纳总结,今后再遇到同类型题目时,不费吹灰之力便可解决。如在求解极限的题目中,什么时候使用洛必达法则、等价无穷小,这种解题技巧有必要进行总结。

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