2018考研数学大纲解析之线性代数命题点

　　一年一度的考研大纲如期而至，你做好准备了吗?考研大纲的出炉代表着考研已经进入到全面复习阶段。但是同学们对考研的命题思路有所了解吗?知道侧重于哪些章节出题，出什么样的类型题吗?下面一起根据考研大纲来分析下线性代数的命题思路。

　　首先要明确现代的考题类型为2道选择、1道填空和2道大题。

　　其次要明确向量空间是数一比数二数三多考的内容，那其他题目在设置上有区别吗?答案是，有。这个区别要看当年数一的试卷中考不考向量空间的题目，如果考，那三套试卷的题目不一样，如果不考，则一样，而向量空间是低频考点，近15年只考了5道题，也就是说这五年的不一样，其余10年考的题目都一样。所以，数三的难度在向数一数二看齐，趋于同难度化。

　　下面分章节分析出题点：

　　第一章行列式在考研大纲中的考试内容为：行列式的概念和基本性质、行列式按行(列)展开定理，考试要求为：了解行列式的概念，掌握行列式的性质、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式。

　　行列式是线性代数学科的基础和运算工具，是出小题的点，数值型和抽象型计算行列式都有可能，考频中等。但不要忽视行列式，它可以是大题的一个步骤，比如通过计算方程组系数矩阵的行列式来分析参数不同取值下方程组解的情况。所以行列式是基础。

　　第二章矩阵考试内容为：矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置、逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件、伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价、分块矩阵及其运算。考试要求为：理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质;掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质;理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵;理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法;了解分块矩阵及其运算.

　　矩阵也是基础部分，出小题的点，可能给出矩阵方程来求逆矩阵或伴随矩阵，初等变换也是出选择题的点，要会求一个矩阵的逆矩阵，掌握秩的概念并且会求一个矩阵的秩。着重掌握对称矩阵及正交矩阵的性质。

　　第三章向量考试内容：向量的概念、向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系、向量空间及其相关概念(数一)、维向量空间的基变换和坐标变换(数一)、过渡矩阵(数一)向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法、规范正交基、正交矩阵及其性质。考试要求：理解向量的线性组合与线性表示的概念;理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法;理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩;理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系;了解维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念(数一);了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵(数一);了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法;了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质.

　　从向量这一章开始出大题，向量单独出大题的概率很低，但它可以和方程组结合出题。这一章重点掌握向量的线性表出、线性相关和线性无关与秩、矩阵和行列式的关系，要会证明一个向量组无关。

　　第四章线性方程组考试内容：线性方程组的克拉默(Cramer)法则、齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件、线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间、非齐次线性方程组的通解。考试要求：会用克拉默法则;理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件;理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法;理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念;掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。

　　线性方程组是线性代数的核心章节，近15年有14年都考了方程组的一道大题，所以方程组是我们复习的重点。考题中不会只给出一个其次或非齐次的方程去求解，这样有些太简单了。在考题中会设置障碍来增加难度，比如系数矩阵中含有参数，比如给出一个方程组的解，去求相关方程组的解，或者近几年将矩阵的问题转化成方程组去解答等。对于同解和公共解掌握基本的题型和方法就好，考频低。

　　第五章矩阵的特征值和特征向量考试内容：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质，相似变换、相似矩阵的概念及性质、矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵。考试要求：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量、理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

　　这一章开始是第二个出大题的点，可能单独出题，也可能和二次型结合出题。要会计算矩阵的特征值和特征向量，知道它们和方程组和秩的关系，要会判定一个矩阵是否能相似对角化，如果能，要会求对角矩阵和P矩阵。实对称矩阵可以用正交矩阵相似对角化，在求Q矩阵时先求出特征向量，再进行正交化和单位化。

　　第六章二次型考试内容：二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、用正交变换和配方法化二次型为标准形、二次型及其矩阵的正定性。考试要求：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解合同变换与合同矩阵的概念，了解二次型的标准形、规范形的概念以及惯性定理，掌握用正交变换化二次型为标准形的方法，会用配方法化二次型为标准形，理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

　　第六章作为同样出大题的点，要掌握正交变化法将二次型化成标准型，会求C矩阵，求它们的重点是理解正交变换法将二次型化成标准型与正交矩阵的相似对角化的联系。掌握矩阵合同的充要条件，正定的定义，会证明矩阵正定。

　　以上是结合考研大纲对各章命题点的分析，同学们在做真题的过程中要注重总结题型和方法，反复做真题，一定会有预期的收获，加油!

　(跨考教育数学教研室  高杨  转载请注明出处)