2016考研数学大纲专题解析之中值定理
新考研大纲如约而至。对考生而言,关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师,考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习,已具备一定基础,也对真题中的题型有一定了解,但未必形成知识体系,重难点也未必完全把握。所以,借助此次与广大考生交流的机会,跨考教育数学教研室刘玮宇老师梳理了高等数学中的重难点,以期给正在全力攀登的考生搭一把手。
专题三 中值定理
中值定理相关证明是考研数学认的重难点。以往这部分常考证明题这种大题。而近两年没考。去年的高数证明题考的函数不等式的证明,今年出乎意料地考了一个用导数定义证明求导公式的证明题。尽管近两年未考,但作为以前常考大题的考点,哪位同学又敢对这部分内容掉以轻心呢?好,这部分内容的重要性无需赘述,那我们应该如何去把握呢?
首先应该把这部分的定理内容弄清楚。习大大说:“打铁还需自身硬!”我们要用这些定理去证明别的结论,先要自己把这些内容弄透、弄熟。具体而言,这部分涉及的定理有:费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、零点存在定理、介值定理、最值定理和积分中值定理。前四个定理属于微分中值定理,中间三个定理属于闭区间上连续函数的性质,最后一个为积分相关定理。值得一提的是,除了闭区间上连续函数的性质这几个定理外,其余定理要求会证明。
接下来,应总结真题中考过的此类题目的处理思路。这项工作可以自己完成,但须花费一定时间。跨考教育数学教研室的老师把近三十年的真题收集起来,总结出解题思路,在此分享给各位考生。
中值相关证明是从条件出发还是从结论出发呢?大部分情况下应从结论出发。看待证的式子是含一个中值还是两个中值。若含一个中值,接下来再看,是否含导数。若含一个中值并且含导数,则优先考虑罗尔定理,接下来的思路就是构造辅助函数以及找两个点的函数值相等(注意这两个点未必是区间的端点,也可能是区间内部的点)。若含一个中值并且不含导数,那考虑闭区间上连续函数的性质,那块有两个常用的定理等着咱们——零点定理和介值定理。选哪个定理呢?小方法来啦!看待证的中值是位于闭区间还是开区间,若是闭区间,则选介值定理,因为介值定理结论就是中值位于闭区间;反之则选零点定理,因为零点定理结论就是中值位于开区间。
好,一个中值的思路说完了,下面考虑两个中值的情况。请问,若待证式子含两个中值,这是用了几次定理的结果?两次!为什么?因为用一次定理得到的式子只含有一个中值,即便复杂如柯西中值定理也不例外。所以,要出现两个中值,一定是用两次定理的结果。当然,用两次定理,肯定得到两个式子,最终的一个式子含两个中值应为前面得到的两个式子合并后的结果。那么,用哪个定理?根据对真题的分析,两个中值的情况一般考虑拉格朗日或柯西定理。具体是用的哪个定理?对哪个函数用的?这可以通过观察待证的式子得到。
总之,此类问题的思路有点像犯罪现场调查:出现这种结果,是如何造成的?谁是有嫌疑的函数,该函数是通过何种作案工具(定理)造成这种结果的。如果有这种体会,那么我们在做题的同时,也过了一把当福尔摩斯那样的大侦探的瘾。
当然,弄熟基本定理,也弄透了上述处理真题的思路,是否能轻松搞定全部真题呢?未必。真题中有各种变形,有了大致思路,还需把各个细节想清楚:如确定考虑罗尔定理了,那辅助函数如何构造,函数值相等的两点如何找?如确定了用拉格朗日或柯西定理,那辅助函数如何构造,具体选哪个定理?这些细节需要结合真题一步步想通,多练习才能掌握。
相关推荐:
2016考研大纲解析专题 2016考研大纲原文及解析下载专题
2016政治考研大纲原文汇总 2016数学考研大纲原文汇总 2016英语考研大纲原文汇总
2022考研初复试已经接近尾声,考研学子全面进入2023届备考,跨考为23考研的考生准备了10大课包全程准备、全年复习备考计划、目标院校专业辅导、全真复试模拟练习和全程针对性指导;2023考研的小伙伴针也已经开始择校和复习了,跨考考研畅学5.0版本全新升级,无论你在校在家都可以更自如的完成你的考研复习,暑假集训营带来了院校专业初步选择,明确方向;考研备考全年规划,核心知识点入门;个性化制定备考方案,助你赢在起跑线,早出发一点离成功就更近一点!
考研院校专业选择和考研复习计划 | |||
2023备考学习 | 2023线上线下随时学习 | 34所自划线院校考研复试分数线汇总 | |
2022考研复试最全信息整理 | 全国各招生院校考研复试分数线汇总 | ||
2023全日制封闭训练 | 全国各招生院校考研调剂信息汇总 | ||
2023考研先知 | 考研考试科目有哪些? | 如何正确看待考研分数线? | |
不同院校相同专业如何选择更适合自己的 | 从就业说考研如何择专业? | ||
手把手教你如何选专业? | 高校研究生教育各学科门类排行榜 |
相关推荐
跨考考研课程
班型 | 定向班型 | 开班时间 | 高定班 | 标准班 | 课程介绍 | 咨询 |
秋季集训 | 冲刺班 | 9.10-12.20 | 168000 | 24800起 | 小班面授+专业课1对1+专业课定向辅导+协议加强课程(高定班)+专属规划答疑(高定班)+精细化答疑+复试资源(高定班)+复试课包(高定班)+复试指导(高定班)+复试班主任1v1服务(高定班)+复试面授密训(高定班)+复试1v1(高定班) | |
2023集训畅学 | 非定向(政英班/数政英班) | 每月20日 | 22800起(协议班) | 13800起 | 先行阶在线课程+基础阶在线课程+强化阶在线课程+真题阶在线课程+冲刺阶在线课程+专业课针对性一对一课程+班主任全程督学服务+全程规划体系+全程测试体系+全程精细化答疑+择校择专业能力定位体系+全年关键环节指导体系+初试加强课+初试专属服务+复试全科标准班服务 |