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2017考研数学高频题型归纳(1)

来源: 跨考教育

2016-04-28 18:06:44

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一、多元积分(数一)

多元积分是数一的必考题型,平均每年一道大题,一道小题。该部分内容包括三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分、第二类曲面积分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式。主要考计算。

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在基础阶段,考生需分清这几种积分和几大公式,重点把握计算方法。

三重积分看成二重积分的推广,计算方法是化成三次定积分(或一次定积分和一次二重积分)。具体的计算方法有三种:“先一后二”、“先二后一”和球坐标。

第一类曲线积分计算方法可概括为“带入、定限”。对称性化简类似于重积分。

第二类曲线积分计算方法也可概括为“带入、定限”,不过定限时不同于第一类曲线积分的“从小到大”,而是“从起点到终点”。当然,此种类型积分的更重要的计算方法是利用格林公式。从考试的角度,此部分的重点在于格林公式、与此有关的积分与路径无关和二元函数的全微分。

第一类曲面积分计算方法可概括为“带入、投影”。对称性化简类似于重积分。

第二类曲面积分计算方法也可概括为“带入、投影”,不过投影时须考虑方向。从考试的角度,此部分的重点在于高斯公式。

斯托克斯公式本身形式较复杂,考试要求不高:记清基本公式,弄清何时用即可。计算第二类曲线积分,积分曲线不易参数化时,考虑此公式。

二、二重积分

二重积分几乎是数学二、数学三的必考内容,也是数学一同学学习多元积分的基础。二重积分比较关键的是计算步骤。拿到一个二重积分,第一步应检验奇偶对称性。有同学可能由于想不到或急于求成,未用对称性化简,结果徒增运算量,增大出错的概率。第二步应选择坐标系。只需搞清何时选择极坐标系,其余情况选择直角坐标系既可。二重积分有两个要素——积分区域和被积函数,所以计算过程中涉及到选择的时候要一看积分区域,二看被积函数。积分区域若为圆域或部分圆域,或者区域的边界的极坐标方程较直角坐标方程简单,则选极坐标系,若被积函数为“f(x^2+ y^2)”的形式,也选极坐标系。

若选择了极坐标系,那接下来干什么?要选择积分次序吗?不用选,肯定是先对r积分后对角度积分,另一种次序的积分几乎没出现过。再往后就是定限了。极坐标系下定限可以简单概括为:从原点出发画一条射线穿过积分区域,与积分区域的边界有两个交点,这两个交点的r坐标即为第一次积分的积分上下限(把交点的r坐标用角度表示)。接下来,让刚才画的这条射线绕着原点旋转,直到与积分区域的边界相切,这两条切线对应的角度即为第二次积分的积分上下限。

若选择了直角坐标系,那接下来要选择积分次序。又涉及到选择了,当然是一看积分区域,二看被积函数。看积分区域的原则是避免分类讨论,看被积函数的原则是让第一次积分简单。次序选完后,就进入到收官阶段——定限了。直角坐标系下定限可以简单概括为:先对谁积分就画一条平行于哪个坐标轴的直线,穿过积分区域,与积分区域的边界有两个交点。这两个交点就对应着第一次积分的积分上下限。接下来,让刚才画的这条直线平行移动,直到与积分区域的边界相切。这两条切线就对应着第二次积分的积分上下限。

三、多元极值

多元极值问题分成两个子问题:无条件极值和条件极值。

1. 无条件极值

此类问题的表述为:求某二元函数f(x,y)的极值(或最值)。处理思路为利用多元函数极值的必要条件和充分条件。通过必要条件找出可能的极值点(驻点和不可导点),利用充分条件一一判断。这部分考点及处理方式可以看成一元函数极值问题的考点及处理方式的自然推广。

2. 条件极值

此类问题的表述为:求某二元函数f(x,y)在约束条件g(x,y)=0下的极值(或最值)。处理思路为拉格朗日乘数法。

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