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2017考研数学高频题型归纳(2)

来源: 跨考教育

2016-04-28 18:09:58

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四、极限计算

整张试卷共23题,其中第15题几乎是极限计算大题的代名词。极限计算有8种武器,分别为:四则运算法则、等价无穷小替换、洛必达法则、幂指型函数的处理、单侧极限、夹逼定理、单调有界必有极限原理和泰勒公式。

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考生在基础阶段要把前5种武器掌握好:内容是什么弄清楚,会应用。后3种武器较难把握,我们可以分阶段啃下这几个硬骨头。基础阶段弄清定理内容,会做基本题目。

对于夹逼定理,内容方面,考生要知晓它有数列和函数两种形式。每种形式条件是什么,结论是什么要理解。以数列形式为例,条件是一个数列夹在另两个数列之间(bn<= an<= cn, 只要n充分大时成立即可,因为考虑的是极限),且有n趋于无穷时,两边的数列收敛到相同的数,结论是夹在中间的数列极限存在且极限值也为相同的数。应用方面,要熟悉夹逼定理推出的一个结论:无穷小乘有界量等于无穷小。会用夹逼定理计算一种长得很有型的数列的极限——n项分母互不相同的分式的和的极限。

对于单调有界必有极限原理,内容不难理解。应用方面,可以处理另一种长得很有型的数列的极限问题——递推式数列的极限的存在性问题中的简单题;也可以到了强化阶段再全面处理这种题。

泰勒公式可以说是算极限的最强大的武器。万物对立统一,这么强大的武器理解和运用起来自然会有些难度。基础阶段,要理解泰勒公式有两种形式——带皮亚诺余项的公式和带拉格朗日余项的公式,前者用来算极限,后者用来证明。算极限,需要记忆常见函数的泰勒公式。

五、幂级数求和、展开

处理此类问题可以从两方面把握:工具和思路。

工具包括一般函数f(x)的泰勒级数、常见函数的泰勒级数和逐项求导、积分定理。把这三部分内容理解到位是处理求和、展开问题的前提。

函数展开成幂级数有两种方法:直接法和间接法。绝大部分真题用的是间接法。所谓间接法,即记住常用函数的泰勒展开公式,然后看题目所给函数跟哪个公式像,则朝该公式的方向变形。变形的方式包括基本变形(如裂项)和求导、求积。后一种变形方式考频更高。此种变形也可以这么理解:题目所给函数直接套公式不行,也不能通过基本变形后套公式,那就考虑求导数或求积分,把运算后的函数套公式展开成幂级数,然后做逆运算还原。

幂级数求和实质是函数展开成幂级数的逆过程,类似考虑即可。

六、中值相关证明

中值相关证明是考研数学公认的难点,考生得分率在30%以下。该部分内容比较丰富,包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。基础阶段,要求考生对上述定理的内容能完整表述,前四个定理会证明。

在基础阶段提出“会证”的要求并不过分,理由有三:1. 2015年真题考到了乘积的导数公式的证明,这提醒考生教材中的重要定理要会证;2. 2009年数一、二、三考了拉格朗日中值定理的证明3. 教材中原定理的证明中蕴含中证明其它结论的思想。

七、经济应用(数三)

经济应用包括三方面的内容:最值问题、边际问题和弹性问题。最值问题需熟悉经济学中常用量(收益、利润、成本、价格和销量)的关系,据此写出函数表达式,进而化为普通的高数的最值问题;“边际”对应“导数”,如边际利润即利润函数L(Q)的导数;弹性需记清需求弹性的基本公式。

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