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2015考研数学复习:寻根问底之秩篇(一)

来源: 跨考教育

2014-07-22 13:11:41

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  寻根究底之秩篇(一)

  ——是什么,为什么,怎么用

  刘纬宇——数学教研室

  新知识的获取离不开探索。探索越多,收获越多。虽然考研备考更多的是复习而非创新,但只要一个知识点、一种方法、一种理解角度对你是新的,那这种复习便可归为广义的探索。这种探索与学术研究有所不同,学术研究更多地是在某点的深入,形不成体系;而研究生考试考查的知识不少已形成知识体系,是可以系统地理解的。而要理解并把握一个知识体系需要做到融会贯通。所以我们复习时要有寻根究底的精神:为了弄清概念A,我们要理解概念B,而概念B中很可能又含有你不甚了解的概念C……不要放弃,坚持下去!只要这些概念是考纲要求的,就不要放过!下面的文字也是按照这种思路组织的。我当年也是按照这种方式学习的,效果不错。

  秩的中文含义是官员俸禄的动态排序,英文单词是rank,也有次序、排位之意。秩在线性代数中用在矩阵和向量组上,我们也可以将秩视为对矩阵和向量组排序的一种指标(如果按照秩从小到大的顺序排列,那零矩阵排在最前面,接着是秩为1的矩阵,……)。跟秩打了个招呼后,请睁大眼睛,做好迎接挑战的准备,我们的探索之旅开始了。

  一、 矩阵的秩

  什么是矩阵?矩阵即由m乘n个实数排列而成的m行n列的数表。

  有人说,要想真正认识一座山,除了要亲自爬一下这座山,还要爬其它的山。这是有道理的:前者让人有亲身经验,后者使人有所参照。生活和学习中的很多道理是相通的。要透彻理解一个概念,不仅需要深入理解其定义,而且需要将其与其它概念作比较,以辨明区别与联系。

  下面,我们就把矩阵与行列式做一个比较:

 

矩阵

行列式

区别

本质

阵(数表)

式(运算法则,结果为数)

形式

矩(行数、列数未必相同)

方(行数、列数相同)

写法

放大的小括号或中括号

放大的绝对值

联系

矩阵为方阵时

可以对矩阵取行列式

矩阵不为方阵时

可以从矩阵中“挑出”子式

  上表提到了子式,那什么是子式?

  子式即矩阵任取i行i列交叉位置的元素所构成的行列式。为什么叫子式?子即孩子,因为它由矩阵产生的,是矩阵的孩子;式即行列式。这里的子式是相对矩阵而言的,行列式有没有子式呢?因为行列式中的元素是按方阵形式排列的,是可以按照矩阵找子式的方式找出子式的。但这只是矩阵找子式的方式,行列式有自己找子式的方式。也即行列式也有子式,不过子式的找法与矩阵不同。如何找,找出来是什么样子?我们看下面两个概念:

  1. 余子式

  顾名思义:余下的子行列式。仍有疑问:余下的,怎么余下的?子式是“由行列式产生的行列式”吗?后面问题回答是肯定的。对于第一个问题,看一下余子式的完整定义就可以了:行列式中元素aij对应的余子式为在行列式中划掉aij所在行和列后构成的低一阶的行列式。

  所以我们发现:余下的含义是划掉了一行一列而剩下。并且还发现余子式是只能是低一阶的行列式,不能低两阶或低多阶,也不能是同阶。

  电影《肖申克的救赎》中有句台词,大意为:既然已经走了这么远,为什么不多走一点呢?套用过来:既然我们已经弄清了余子式的概念,那为什么不多走一步,弄清一个相关的概念——代数余子式呢?

  2. 代数余子式

  代数作为修饰语的含义是“带符号”(或加正负号)。如定积分的几何意义是曲边梯形面积的代数和。所以代数余子式即带符号的余子式。这里又产生了一个问题:符号的正负是如何确定的呢?这是由划掉的行数和列数决定的,或者说由元素aij所在的位置决定的,即-1的i+j次幂。

  通过一番讨论,我们搞清了子式的概念。那对于这样一个1乘3矩阵:(1 2 0),你能找出它的所有的子式吗?不难发现它的子式共有三个:1,2,0。这说明:一个矩阵的子式可能有多个。而我们关注的是那些非零的子式(注意到子式是行列式,而行列式的值是可以算出来的)。此处非零的子式有:1,2。现在我们再完成一项工作,胜利就在眼前了。在这些非零的子式里,我们挑出阶数最高的。此处两个非零子式都是一阶的,最高阶数当然是1。这个最高阶数不是别的,就是原矩阵的秩。所以矩阵(1 2 0)的秩为1。是不是有“众里寻他千百度,那秩却在灯火阑珊处”的感觉?

  对于一个一般的m乘n矩阵,我们也可以按照上面的三个步骤找出它的秩:找出它的所有子式;在这些子式里面找出非零的;挑出非零子式中阶数最高的,这个最高阶数就是矩阵的秩。下面再看矩阵的秩的定义,就会觉得它不那么难理解了。

  矩阵的秩即矩阵中非零子式的最高阶数。

  以上就是跨考考研网为大家整理的2015考研数学复习寻根问底系列,未完待续,大家跟着老师复习,考研数学就没有那么可怕了,相信你们一定能拿下2015考研!

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