2015考研数学复习:寻根问底之秩篇(二)
寻根究底之秩篇(二)
——是什么,为什么,怎么用
刘纬宇——数学教研室
下面我们继续挖掘矩阵的秩的内涵。
一个矩阵的秩为2意味着什么?按照矩阵的秩的定义,我们可以得到该矩阵中非零子式的最高阶数为2。当然这是“直译”,有没有“意译”(或更利于解题的翻译方式)?有。可以这么翻译:该矩阵中存在2阶非零子式,且不存在3阶非零子式。前半句话怎么理解?这不就是“直译”的那句话的自然结果吗?或者反过来理解:试想,如果若这半句话不成立,即矩阵中不存在2阶非零子式,那矩阵中非零子式的最高阶数就不可能为2了(应小于或等于1),这与已知条件矛盾。那么,根据前面的分析,这半句话等价于矩阵的秩大于等于2。类似的讨论可以对后半句话进行。不难得到这半句话等价于矩阵的小于等于2。这里有两个个问题:矩阵不存在3阶非零子式有几种情况呢?不难发现有两种:(1)矩阵没有3阶子式(跟别谈3阶非零子式了,如一个2乘2的矩阵);(2)矩阵有3阶子式,但3阶子式全为零。另一个问题,如果矩阵不存在3阶非零子式,那么有可能存在4阶及以上阶的非零子式吗?如果你对行列式的展开定理比较熟悉,应该不难得出答案。
推广一下,我们就得到了一般情况:
矩阵的秩为k等价于矩阵中非零子式的最高阶数为k,也等价于矩阵中存在k阶非零子式,且不存在k+1阶非零子式。
还有两个特殊情况需要我们注意:
矩阵的秩为1等价于矩阵中存在1阶非零子式,且不存在2阶非零子式。思考:什么是1阶子式?不就是矩阵的元素吗?那么1阶非零子式就是非零元素了。进一步,矩阵中存在1阶非零子式也即矩阵中存在非零元素。这有说明了什么呢?这说明矩阵不是零矩阵。再分析后半句话,2阶子式为零意味着什么?大家可以自己举个例子,是不是说明二阶行列式的元素按行按列成比例(这里的成比例是广义的,比如二阶行列式有一行元素为零,那0除0理解成可以等于任何数)。进一步所有二阶子式全为零说明什么,是不是说明整个矩阵是按行按列成比例的?分析至此,秩为1的矩阵长什么样子大家应该有个印象了:存在非零元素,且按行按列成比例。
n阶方阵的秩为n等价于其自身取行列式后不为零。这个大家自己分析,应该不困难。这种情况矩阵的秩达到了最大值,秩是满的,我们称该矩阵满秩。
二、向量组的秩
要讨论向量组的秩,先要搞清楚什么是向量。其实咱们在中学就讨论过向量。中学数学对向量的定义是既有大小又有方向的量。中学物理中把向量称为矢量。那么线性代数中讨论的向量与中学接触过的向量是什么关系?
首先回顾一下,在中学我们是如何表示向量的。中学数学中主要讨论平面上的向量。平面上的向量是可以平行移动的。两个相互平行且长度相等的向量我们认为是相等的。好,假设在平面直角坐标系中,对于平面上的任何一个向量,我们总是可以将其平移至起点坐标原点重合。这时向量终点的坐标同时也是向量的坐标。这样,我们就可以用一个实数对表示一个平面向量了。
一个实数对实际是我们线性代数中的一个二维行向量。而线代中讨论的向量是任意n维的。所以线性代数中的向量可视为中学向量的推广。
下面是向量的数学定义:
由n个实数a1,a2,…,an构成的有序实数组(a1,a2,…,an)称为一个n维行向量。类似可定义列向量。
问个问题:向量和矩阵是什么关系?向量可视为特殊的矩阵(行数或列数为1的矩阵)。这是理解向量的一个很好的角度。因为学习向量时,我们已把矩阵讨论得很清楚了,所以通过矩阵理解向量就能省不少事。
知道了什么是向量,那什么是向量组呢?向量一般来说不是单独出现,而是成组出现的。我们把多个向量放在一起考虑,就构成了向量组。
当然向量组的严格数学定义也不难理解:由若干个同型向量构成的集合称为一个向量组。这里的“同型”可以理解成矩阵同型,也可以用向量的语言描述成:同为行向量或列向量且维数相同。
(待续)
以上就是跨考考研网为大家整理的2015考研数学复习寻根问底系列,未完待续,大家跟着老师复习,考研数学就没有那么可怕了,相信你们一定能拿下2015考研!
2022考研初复试已经接近尾声,考研学子全面进入2023届备考,跨考为23考研的考生准备了10大课包全程准备、全年复习备考计划、目标院校专业辅导、全真复试模拟练习和全程针对性指导;2023考研的小伙伴针也已经开始择校和复习了,跨考考研畅学5.0版本全新升级,无论你在校在家都可以更自如的完成你的考研复习,暑假集训营带来了院校专业初步选择,明确方向;考研备考全年规划,核心知识点入门;个性化制定备考方案,助你赢在起跑线,早出发一点离成功就更近一点!
考研院校专业选择和考研复习计划 | |||
2023备考学习 | 2023线上线下随时学习 | 34所自划线院校考研复试分数线汇总 | |
2022考研复试最全信息整理 | 全国各招生院校考研复试分数线汇总 | ||
2023全日制封闭训练 | 全国各招生院校考研调剂信息汇总 | ||
2023考研先知 | 考研考试科目有哪些? | 如何正确看待考研分数线? | |
不同院校相同专业如何选择更适合自己的 | 从就业说考研如何择专业? | ||
手把手教你如何选专业? | 高校研究生教育各学科门类排行榜 |
相关推荐
跨考考研课程
班型 | 定向班型 | 开班时间 | 高定班 | 标准班 | 课程介绍 | 咨询 |
秋季集训 | 冲刺班 | 9.10-12.20 | 168000 | 24800起 | 小班面授+专业课1对1+专业课定向辅导+协议加强课程(高定班)+专属规划答疑(高定班)+精细化答疑+复试资源(高定班)+复试课包(高定班)+复试指导(高定班)+复试班主任1v1服务(高定班)+复试面授密训(高定班)+复试1v1(高定班) | |
2023集训畅学 | 非定向(政英班/数政英班) | 每月20日 | 22800起(协议班) | 13800起 | 先行阶在线课程+基础阶在线课程+强化阶在线课程+真题阶在线课程+冲刺阶在线课程+专业课针对性一对一课程+班主任全程督学服务+全程规划体系+全程测试体系+全程精细化答疑+择校择专业能力定位体系+全年关键环节指导体系+初试加强课+初试专属服务+复试全科标准班服务 |