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2015考研数学新考纲公布后的复习攻略(五)

来源: 跨考教育

2014-09-13 15:19:32

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(书接上回~

15.   线代既灵活又抽象,怎么把握呢?

    刘老师:我问过不少考生这个问题:线性代数的知识结构是树形结构还是网状结构?不少同学回答网状结构。考生首先应该把考纲规定的每个考点掌握好,接下来完成“归纳题型,总结方法”的任务(可以自己把参考资料总结的方法消化吸收,也可以把老师讲的方法消化吸收),接下来就是形成体系和强化重难点了。

如何形成体系呢?用核心的概念把相关的知识串起来是个不错的方法。比如n阶矩阵A可逆有多少等价条件?从行列式的角度是A的行列式不等于0,从向量的角度是A的列向量组或行向量组线性无关,从线性方程组的角度是Ax=0仅有零解或Ax=b有唯一解,从秩的角度是rA=n,从特征值的角度是A的特征值不含0,从二次型的角度是A的转置乘A正定。

还有,要有寻根究底的精神。比如,我们讨论下秩这个让考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么?线性代数中有两个秩:一个矩阵的秩,一个向量组的秩。矩阵的秩是矩阵非零子式的最高阶数。一个矩阵的秩为k意味着什么?要会“翻译”。“直接翻译”的结论是矩阵非零子式的最高阶数为k。只会“直接翻译”还不足以应对考题,还得会“间接翻译”:该矩阵存在k阶非零子式,并且该矩阵不存在k+1阶非零子式。再进一步思考:前半句话用秩的语言怎么描述?应为rA>=k;后半句话用秩的语言怎么描述?应为rA<=k< span="">。再思考:该矩阵不存在k+1阶非零子式包含几种情况?应有两种情况:1)矩阵存在k+1阶子式,但k+1阶子式全为02)矩阵不存在k+1阶子式(如矩阵是k阶方阵)。这样关于矩阵的秩的概念才理解到位了,但还需多做题才能达到熟练。

类似地,我们可以对“向量组的秩”这个概念做层层剖析。首先,向量组的秩是向量组的极大线性无关组所含向量的个数。什么是极大线性无关组?顾名思义即个数最多的线性无关的子向量组。但是严格的数学定义必不可少。这个地方提到一个问题:有同学对于比较抽象的概念比较头疼,试图抛开严格的数学表述,而通过举例子等方式理解,这样可以吗?不行。举例子确实有助于理解,但代替不了严格的数学表述。其实,定义理解好了,方法就是自然而然的了。考生可以思考相关问题:如极大无关组是否唯一?如果不唯一,那它们是什么关系?

还可以继续思考矩阵的秩和向量组的秩的关系。任给一个矩阵A,矩阵可以按列分块,也可以按行分块,这样我们可以得到三个秩——矩阵的秩,矩阵的列向量组的秩和矩阵的行向量组的秩。这三个秩是什么关系?结论是相等。这个结论不需要证明,会用即可。

(未完待续~

 

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