2015考研数学新考纲公布后的复习攻略（五）

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（书接上回~）

15.   线代既灵活又抽象，怎么把握呢？

    刘老师：我问过不少考生这个问题：线性代数的知识结构是树形结构还是网状结构？不少同学回答网状结构。考生首先应该把考纲规定的每个考点掌握好，接下来完成“归纳题型，总结方法”的任务（可以自己把参考资料总结的方法消化吸收，也可以把老师讲的方法消化吸收），接下来就是形成体系和强化重难点了。

如何形成体系呢？用核心的概念把相关的知识串起来是个不错的方法。比如n阶矩阵A可逆有多少等价条件？从行列式的角度是A的行列式不等于0，从向量的角度是A的列向量组或行向量组线性无关，从线性方程组的角度是Ax=0仅有零解或Ax=b有唯一解，从秩的角度是r（A）=n，从特征值的角度是A的特征值不含0，从二次型的角度是A的转置乘A正定。

还有，要有寻根究底的精神。比如，我们讨论下秩这个让考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么？线性代数中有两个秩：一个矩阵的秩，一个向量组的秩。矩阵的秩是矩阵非零子式的最高阶数。一个矩阵的秩为k意味着什么？要会“翻译”。“直接翻译”的结论是矩阵非零子式的最高阶数为k。只会“直接翻译”还不足以应对考题，还得会“间接翻译”：该矩阵存在k阶非零子式，并且该矩阵不存在k+1阶非零子式。再进一步思考：前半句话用秩的语言怎么描述？应为r（A）>=k；后半句话用秩的语言怎么描述？应为r（A）<=k< span="">。再思考：该矩阵不存在k+1阶非零子式包含几种情况？应有两种情况：1）矩阵存在k+1阶子式，但k+1阶子式全为0；2）矩阵不存在k+1阶子式（如矩阵是k阶方阵）。这样关于矩阵的秩的概念才理解到位了，但还需多做题才能达到熟练。

类似地，我们可以对“向量组的秩”这个概念做层层剖析。首先，向量组的秩是向量组的极大线性无关组所含向量的个数。什么是极大线性无关组？顾名思义即个数最多的线性无关的子向量组。但是严格的数学定义必不可少。这个地方提到一个问题：有同学对于比较抽象的概念比较头疼，试图抛开严格的数学表述，而通过举例子等方式理解，这样可以吗？不行。举例子确实有助于理解，但代替不了严格的数学表述。其实，定义理解好了，方法就是自然而然的了。考生可以思考相关问题：如极大无关组是否唯一？如果不唯一，那它们是什么关系？

还可以继续思考矩阵的秩和向量组的秩的关系。任给一个矩阵A，矩阵可以按列分块，也可以按行分块，这样我们可以得到三个秩——矩阵的秩，矩阵的列向量组的秩和矩阵的行向量组的秩。这三个秩是什么关系？结论是相等。这个结论不需要证明，会用即可。

（未完待续~）

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