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2015考研数学:线代特征值与特征向量考点分析

来源: 跨考教育

2014-12-29 09:51:11

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  作为线性代数的两个核心之一的特征值与特征向量,是考研数学一和数学二、数学三的共同考试内容,常常以大题的形式出题,每年必考。所以理解特征值与特征向量的概念,熟悉与之相关的题型及解法,对于取得这部分题目的分数尤为重要。

  从历年考研数学中“特征值和特征向量”的考题题型分析来看,特征值、特征向量是线性代数的重点内容,是考研的重点之一,题多分值大,共有三部分重点内容:特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化。而2015年数一、数二、数三的一个大题又出现了两个矩阵相似和矩阵相似对角化的问题,所以今年的线性代数题目的难度下降了很多。

  此章节常考题型有:

  第一,数值矩阵的特征值和特征向量的求法。根据已给出矩阵,通过特征方程求出特征值,然后通过求齐次线性方程组的基础解系,求出矩阵的属于特征值的线性无关的特征向量;

  第二,抽象矩阵特征值和特征向量的求法。一般利用特征值和特征向量的定义及性质;

  第三,判定普通方阵的相似对角化问题。利用判定定理“n阶方阵A有n个线性无关的特征向量”或者“k重特征值恰好对应k个线性无关的特征向量”来判定;今年就考到了利用“k重特征值恰好对应k个线性无关的特征向量”来判定方阵相似对角化的问题。

  第四,由特征值或特征向量反求A。一般根据题目中所给的条件转换为(跨考)2015考研数学:线代特征值与特征向量考点分析来解决;

  第五,有关实对称矩阵的性质的问题。实对称矩阵的4个重要性质(1)不同特征值对应的特征向量一定正交(2)k重特征值一定对应k个线性无关的特征向量(3)实对称矩阵A一定可以相似对角化,即存在可逆矩阵P使得(跨考)2015考研数学:线代特征值与特征向量考点分析(4)存在正交矩阵Q,使得(跨考)2015考研数学:线代特征值与特征向量考点分析 。几乎每年必定会考到其中的某条或某些性质,所以一定要牢记,并熟练掌握和应用。但2015年就没有考到,所以今年出的线代题目太简单了。

  文章来源:跨考数学教研室 郭静娟

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