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2015考研数学线代之二次型的考点分析

来源: 跨考教育

2014-12-29 10:04:57

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  在考研数学中,线性代数的二次型所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量在实际生活中的应用,因此化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵,必存在正交矩阵 使其可以相似对角化”,其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。

  由于二次型与它的实对称矩阵式一一对应的,所以二次型的很多问题都可以转化为它的实对称矩阵的问题,可见正确写出二次型的矩阵式处理二次型问题的一个基础。重点内容包括:掌握二次型及其矩阵表示,了解二次型的秩和标准形等概念;了解二次型的规范形和惯性定理;掌握用正交变换并会用配方法化二次型为标准形;理解正定二次型和正定矩阵的概念及其判别方法。

  此章节常考题型有:

  第一、化二次型为标准形。一般方法有两种即正交变换法和配方法,而从历年真题可以看出,大题经常考的均是正交变换法、偶尔小题中考到配方法;今年数一、数二和数三只一个选择题是结合初等矩阵的性质考到了二次型中正交变换法化二次型为标准形这一知识点;

  第二,化二次型为规范形。利用正、负惯性指数可直接写出;

  第三,合同矩阵。经常以小题的形式出现;

  第四,二次型正定性的判别。对于抽象二次型,一般利用正定性定义和二次型对应的实对称矩阵的特征值都为正数来进行判定;对于数值型二次型,一般利用二次型对应的实对称矩阵的特征值或所有的顺序主子式都为正数来进行判定。

  文章来源:跨考数学教研室 郭静娟

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