2015年研究生入学考试线性代数之矩阵的考点分析

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一般而言，在数学三个科目中，很多同学会认为线性代数比较简单。事实上，线性代数的内容纵横交错，环环相扣，知识点之间相互渗透很深，因此不仅出题角度多，而且解题方法也是灵活多变，需要在夯实基础的前提下大量练习，归纳总结。

矩阵是线性代数中研究线性方程组最重要的一个基本工具，是线性代数的核心，它贯穿整个线性代数课程的各个章节，常与其它章节的内容一起考察，包括：行列式、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型，因此，对矩阵内容的复习需要结合其它章节内容的复习一起进行。考试单独考查本部分以小题为主，平均每年1至2题。但矩阵作为研究线性代数问题的核心，线性代数的考题绝大部分是以矩阵为载体出题的，因此矩阵复习的成败基本决定了整个线性代数复习的成败。该部分的常考题型有：矩阵的运算、逆矩阵、初等矩阵、矩阵方程、矩阵的秩、矩阵的分块。

矩阵这个章节的核心考点主要有：

第一，矩阵的运算。包括线性运算（矩阵加法，数乘）、矩阵乘法；在矩阵的运算中矩阵乘法是核心，要特别注意乘法一般不满足交换律和消去律；求方阵的高次幂的也是经常考的一个考点，求方阵的高次幂一共有四种方法：（1）直接求  得到  ，（2）  

 ,（3）二项式定理，（4）利用A可相似对角化， 而2015年数一、数二、数三的一个大题的第一小问就考了一个方阵的高次幂，即考到的是求方阵的高次幂的第一种方法-直接求即可

第二，矩阵的逆矩阵。需注意三个方面，一要注意可逆矩阵的定义，即利用可逆矩阵的定义可以求抽象矩阵的可逆矩阵；二要掌握判断方阵的可逆性及求逆的方法：伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法；三要掌握逆矩阵的应用即解矩阵方程，先利用矩阵的性质化简方程为 ，当系数矩阵可逆时用逆矩阵求解，其解分别是  。而2015年数一、数二、数三的一个大题的第二小问就考了可逆矩阵的应用即解矩阵方程。

第三，分块矩阵。其中分块矩阵相对应的分块行列式的计算是分块矩阵的重点所在，拉普拉斯展开定理的几个常用的分块行列式的计算公式一定得掌握；

第四，初等矩阵。主要与行列式、可逆性、伴随矩阵等相结合来考察初等矩阵的“左行右列”性质.2015年数一、数二、数三的一个选择题结合第六章二次型中正交变换法化二次型为标准形就考到了这一性质。

第五，矩阵的秩。矩阵的秩在向量组的线性相关性和方程组中的应用以及秩的相关不等式性质，这个是考研的常考点，也是必考点！2015年数一、数二和数三的一个小题就是利用  

和系数行列式为0来判定非齐次线性方程组有无穷多解的。

郭静娟——跨考数学教研室