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2016考研数学:线性代数知识点需要注重哪些?

来源: 跨考教育

2015-01-29 15:21:50

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  2016年考研寒假复习已经开始了,数学的基础概念理论知识更需要在起步的时候打好基础,跨考考研小编为大家整理了2016考研复习初期一些方法和概念总结,希望能够帮助2016考研人做好基础备考。

  线性代数的概念很多,重要的有:

  代数余子式,伴随矩阵,逆矩阵,初等变换与初等矩阵,正交变换与正交矩阵,秩(矩阵、向量组、二次型),等价(矩阵、向量组),线性组合与线性表出,线性相关与线性无关,极大线性无关组,基础解系与通解,解的结构与解空间,特征值与特征向量,相似与相似对角化,二次型的标准形与规范形,正定,合同变换与合同矩阵。

  往年常有考生没有准确把握住概念的内涵,也没有注意相关概念之间的区别与联系,导致做题时出现错误。

  例如,矩阵A=(α1,α2,…,αm)与B=(β1,β2…,βm)等价,意味着经过初等变换可由A得到B,要做到这一点,关键是看秩r(A)与r(B)是否相等,而向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,说明这两个向量组可以互相线性表出,因而它们有相同的秩,但是向量组有相同的秩时,并不能保证它们必能互相线性表现,也就得不出向量组等价的信息,因此,由向量组α1,α2,…αm与β1,β2,…βm等价,可知矩阵A=(α1,α2,…αm)与B=(β1,β2,…βm)等价,但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。

  又如,实对称矩阵A与B合同,即存在可逆矩阵C使CTAC=B,要实现这一点,关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同,而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立,进而知A与B有相同的特征值,如果特征值相同可知正、负惯性指数相同,但正负惯性指数相同时,并不能保证特征值相同,因此,实对称矩阵A~BAB,即相似是合同的充分条件。

  线性代数中运算法则多,应整理清楚不要混淆,基本运算与基本方法要过关,重要的有:

  行列式(数字型、字母型)的计算,求逆矩阵,求矩阵的秩,求方阵的幂,求向量组的秩与极大线性无关组,线性相关的判定或求参数,求基础解系,求非齐次线性方程组的通解,求特征值与特征向量(定义法,特征多项式基础解系法),判断与求相似对角矩阵,用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

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