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2016考研数学复习之线性代数复习指导

来源: 跨考教育

2015-03-23 15:43:41

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  2016考研数学复习之线性代数复习指导

  线性代数有两条学习的主线,一条是方程组理论,一条是特征值理论。第一条主线线性方程组理论由两个主要问题构成,一是线性方程组解是否存在,就是解的判定问题;二是如果线性方程组有无穷多解,那如何表示这无穷多解呢?就是解的构成问题。第二条主线主要是研究矩阵对角化问题。其中第一章行列式,第二章矩阵都是为后续章节做准备。下面,跨考数学教研室邵伟如老师就和大家具体分析一下各章之间的联系和复习方法。

  第一章行列式,主要考察行列式的计算,而且单独考察的情况较少见,主要是结合方程组解的问题去考察,因此,在学习第一章是重点去学习如何计算特殊类型的行列式的计算方法,比如:爪型、对角线型;三阶行列式(主要为计算特征值做准备);行列式展开定理;行列式的性质等。

  第二章矩阵主要掌握矩阵运算性质、逆矩阵(包括逆矩阵的判定、求逆矩阵)、初等矩阵(左行右列原则、初等矩阵的逆矩阵)。其中最重要的方法——初等变换——必须很好很熟练地掌握,这决定了后续章节的学习是否能顺利算出正确的结果,是得分的关键。这一部分还有一个线性代数的核心概念:秩。矩阵的秩是一个“结”,是一个“扣”,打开这个“结”,解开这个“扣”,矩阵,甚至线代就学透彻一大半了。

  第三章向量及线性方程组是通过研究向量组之间的关系研究方程组解的问题,向量是手段是工具。这一部分内容普遍反映比较难掌握,难掌握的原因主要是比较抽象,而且定理又非常多。这一部分定理要求全部会证明,意义不在于证明这些定理本身,主要是通过这些定理的证明体会线性代数这门学科常用的证明思路和方法,和高等数学相比,线性代数这门学科的证明思路是相对固定的,变化很少,完全可以掌握。

  第四章特征值特征向量开始,进入矩阵对角化的讨论,主要由以下几个问题构成:一是什么样的矩阵可以相似对角化?(相似对角化的充要条件)二是如果矩阵可以相似对角化,那么通过什么样的相似变换可以达到对角化的目的?对角化后的对角阵又是什么形式呢?于是涉及到可逆矩阵P的求法,对角阵 的构成。由此可以看出,这一部分的编写是一个倒叙的形式,先去求特征值特征向量,其实是为求P和 做准备而已。

  第五章二次型理论主要探讨实对称矩阵的对角化问题,实对称矩阵与普通方阵相比有自己特殊之处,在对实对称矩阵进行对角化的过程中,可以对可逆矩阵P提出更高的要求,可以要求矩阵是一个正交矩阵Q,正交矩阵具有良好的运算性质,列向量之间正交且均为单位向量,因此可保证,由此可进一步深入讨论如何将二次型化为标准型的问题。

  总之,线性代数的学习是要求连成片,结成网的,不能是知识点的单独学习,各个点要相互渗透,理清楚结构才能学好这门课。

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