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考研数学知识点深度解析——连续

来源: 跨考教育

2015-05-06 14:06:20

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  连续---是我们微积分学中,对极限的第一个应用。从它字面意思或是深入到几何意义就是说,函数的图像是连绵不断的。在我们考研当中,对这个概念也是亲睐有加,在选择题中反复出现。今天, 跨考教育数学教研室赵睿老师就和诸位考生一起聊聊关于连续的话题。

考研数学知识点深度解析——连续

  首先,所谓连续即“极限值=函数值”,这一个等式包含了三个方面,1、函数必须在该点处有定义;2、函数必须在这个点附近存在极限;3、是前面1、2两点的内容必须相等,同时满足这三个条件,才叫做函数在某点处连续。看到,判断函数连续,要先求极限,所以,如何求函数在该点处的极限值或是用极限存在的充要条件(左右极限存在且相等),是一个隐含的知识点。

  其次,我们自然会问,会不会有不连续的点呢?答案当然是肯定的,不连续的点就是我们所说的---间断点。那么所谓“不连续”就是不能同时满足连续的三个条件的点,即1、函数在该点处没有定义;2、若函数在该点有定义,但函数在该点附近的极限不存在;3、虽然函数在该点处有定义,极限也存在,但是二者不相等。

  对于间断点,根据左右极限存在与否,我们把它分为两类。若左右极限都存在的间断点,称为第一类间断点;若左右极限相等,这个间断点称为第一类间断点中的可去间断点;若左右极限不相等,这个间断点称为第一类间断点中的跳跃间断点。若左右极限中至少有一个不存在(包含极限等于无穷的情形)的间断点,称为第二类间断点;若其中一个极限是趋于无穷的,这个间断点就称为无穷间断点;若极限是在两个常数之间来回振荡的,就称为振荡间断点。

  最后,对于连续性最重要的应用或者是说考研中的一个小难点,就是闭区间上连续函数的三个性质:最大最小值定理、零点定理、介值定理。

  对于上面的知识点,我们看看在考研中是怎么考察的。对于连续的概念,难度上属于简单知识点。首先,在十五年前,对于连续性的考查,更多的是给一个分段函数,然后判断分段点处函数的连续性,这是一个基本题型,只需判断连续的三个条件即可,其实主要是考查求函数某点处左右极限的值。然后,进入20世纪,考查又倾向于在选择题当中,给一个函数,让大家来判断这个函数有多少间断点,间断点的类型是什么,这个又比之前考查的更高一层。最后,就是在逻辑推理题中,考查零点定理,介值定理,通常,考查介值定理的时候也会用到最值定理。我们归纳题型知道,判断方程根的情况的时候,一般用零点定理;题干中包含好几个函数值相加的时候,一般用介值定理。具体在证明题中怎么用,我们会在专门的证明题专题中讲解。

  上面是对连续概念本身做出的分析。还有连续与极限存在,可导,可微的关系也是选择题中考查的热点,这个我们在后续一元函数导函数中详细说明。最后希望本文对同学们的学习能起到帮助。

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