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考研数学备考:二重积分的三大性质

来源: 跨考教育

2015-06-09 13:22:29

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  二重积分是考研数学的重要内容,而它的性质(不等式性质、普通对阵、轮换对称性质)是常考的出题点,且形式多变。因此考生在复习中要认真理解和把握。下面我们详细和大家来谈谈这三种性质,方便考生熟练掌握。

考研数学备考:二重积分的三大性质

  首先,我们看二重积分的不等式性质。此性质在05年数三的真题中就出现过,当时是以选择题的形式出现的。对于积分区域相同的二重积分,它们的大小就完全由在区域上被积函数的大小来决定,函数越大,积分值就越大。

  二重积分的对称性质,可分为普通对称和轮换对称。

  关于普通对称:当积分区域D关于x对称,我们往往要考虑其被积函数是否为y的奇偶函数,当积分区域D关于y轴对称时,我们往往也要考虑其被积函数是否为x的奇偶函数,这样来简化二重积分的计算,当积分区域D关于原点对称,我们往往要考虑其被积函数是否是为x,y的奇偶函数。有些题目中可能积分区域对称性不是那么明显,需要我们稍微分割下来看其是否关于坐标轴对称。这种题目在09年数一,12年数二等都出现过。

  关于轮换对称:对于二重积分的轮换对称时教科书上没有的知识点,但是考研中也是有此类题出现的,比如,05年的数二,就出现过用轮换对称来做的选择题。当积分区域D关于y=x对称时或者当x, y互换后,积分区域D不变时我们往往就要往轮换对称上考虑了。对于这种利用轮换对称性质来简化运算的,我们一定要掌握住,特别是数一的同学,因为在后面的三重积分、曲面积分和曲线积分中也都有坐标轮换对称性质。

  另外,我们在学习二重积分的性质时,应将定积分与二重积分的概念、性质加以对比学习,比较它们的相同点与不同点,使复习更有成效。对于二重积分这一部分的内容,我们不但要会计算它,关于二重积分的有关性质我们也要很熟练的掌握。这样我们在做有关二重积分时,包括计算二重积分时,也是常常要先化简后再计算的。对于这些性质,同学们可以对做一些题目来记忆巩固。

  定积分中还有定积分的几何意义,而二重积分中也有,可以参照定积分的几何意义来理解。而二重积分的比较性质,可加性质,包括被积函数的可加性和积分区域的可加性,这些性质与定积分中的可加性相仿,也可以对比学习理解。

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