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2017考研数学:数项级数的学习要点

来源: 跨考教育

2016-01-13 10:29:10

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级数部分知识的学习历来被认为是学习的难点,主要原因是本部分概念及方法都很抽象,不容易操作,面对题目比较茫然,不知该如何入手讨论。本文中,跨考教育数学教研室邵伟如老师将对数项部分知识进行梳理,为同学们提供一个可行的思路。

级数部分从大的方面来分的话主要考察数项级数及函数项级数,数项级数部分主要考察级数的敛散性,函数项级数部分涉及到求和及展开,数三的同学考察幂级数,数一的同学还考察傅里叶级数,数二的同学不考察级数。

数项级数,顾名思义就是级数的一般项为数,数项级数大体分为两类考察,一类是正项级数,一般项均为正数;一类是一般项级数,一般项是可正可负的数,其中特殊的是交错级数,一般项由正负交叉的数构成。每个类型的级数都有相应的判别敛散的方法。

正项级数是考察重点,数一、三的同学均以考察级数敛散的判别法为主,但出题的侧重点又有所区别,数三的同学以选择、填空小题为主,数一的同学除了考察小题以外,还会以判别法,主要是比较审敛法为主考察大题,总之,数一的同学要求更高一些。正项级数审敛法主要有:比较审敛法(常需要借助p级数)、比值审敛法(级数自身前后项相较,适用于一般项含阶乘的正项级数)及根值审敛法(级数自身前后项相较,适用于一般项含n次幂的正项级数)。总得来说,比较审敛法体现了借助已知敛散性的级数判别未知,比值及根值审敛法主要是自己的事情自己做,自力更生。

一般项级数判敛需要遵循一定的步骤进行。首先,计算一般项的极限,如果一般项的极限不为0,那么本级数必发散;如果一般项极限为0,只能说明级数有收敛的可能性,但不能立即判敛(反例:调和级数),那么需要进一步判定,如何判定呢?需要将级数的一般项加绝对值,这样一个一般项级数就变为正项级数,即可由正项级数判敛的三个方法判敛,如果收敛,则此时级数收敛,且称为绝对收敛,如果发散,则需要去掉绝对值,看一般项级数本身的敛散性;如何判别一般项级数的敛散呢?此时有两个走向,一是看级数是否为交错级数,如果是交错级数,则用莱布尼兹条件判敛,收敛,则称级数为条件收敛;若虽是交错级数却不满足莱布尼兹条件,或级数是一般项级数但并非交错级数,那么一般需考虑定义法判敛,所谓定义法,就是先计算级数的前n项和,然后前n项和取极限,若极限存在,则级数收敛,若极限不存在,则级数发散。

当然,除了以上介绍的审敛法以外,我们还需熟练掌握级数的一些性质(比如:收敛+收敛=收敛、增加或去掉或改变级数的有限项不影响级数的敛散性等)来判别。希望同学们在学习过程中多注意这些性质的运用。

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