考研数学之极限、连续与求极限重点

1.微积分中研究的对象是函数。

函数概念的实质是变量之间确定的对应关系。变量之间是否有函数关系，就看是否存在一种对应规则，使得其中一个量或几个量定了，另一个量也就被唯一确定，前者是一元函数，后者是多元函数。

函数这部分的重点是：复合函数、反函数和分段函数、函数记号的运算及基本初等函数与其图象。

2.极限是微积分的理论基础。

研究函数的性质实质上是研究各种类型的极限，如连续、导数、定积分、级数等等。由此可见极限的重要性。本章的重点内容是极限。既要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，又要能准确地求出各种极限。求极限的方法很多，综合起来主要有：

⑴利用极限的四则运算与幂指数运算法则;

⑵利用函数的连续性;

⑶利用变量替换与两个重要极限;

⑷利用等价无穷小因子替换;

⑸利用洛必达法则;

⑹分别求左、右极限;

⑺数列极限转化为函数极限;

⑻利用适当放大缩小法;

⑼对递归数列先证明极限存在(常用到“单调有界数列有极限”的准则)，再利用递归关系求出极限;

⑽利用导数的定义求极限;

⑾利用泰勒公式;

⑿利用定积分求n项和式的极限.

3.无穷小就是极限为零的变量。

极限问题可归结为无穷小问题。极限方法的重要部分是无穷小分析，或说无穷小阶的估计与分析。要理解无穷小及其阶的概念，学会比较无穷小的阶及确定无穷小阶的方法，会用等价无穷小因子替换求极限。

4.连续函数或除若干点外是连续的函数。

由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续及函数间断点的类型等问题本质上仍是求极限。因此这部分也是本章的重点。要掌握判断函数连续性及间断点类型的方法，特别是分段函数在连接点处的连续性。

函数的其他许多性质都与连续性有关，因此我们要了解连续函数的重要性质——有界闭区间上连续函数的有界性定理，最大值、最小值定理和中间值(介值)定理，并会应用这些性质。