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2017考研高等数学之微分学详解

来源: 跨考教育

2016-04-25 18:40:58

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一、基本要求

按照考研大纲,本篇要求理解和掌握的是:导数和微分的概念,导数与微分的关系,导数的几何意义,函数的可导性与连续性之间的关系,导数的四则运算法则和复合函数的求导法则,基本初等函数的求导公式,罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理,用洛必达求未定式极限的方法,函数的极值概念,用导数判断函数单调性和求函数极值的方法,函数最大纸和最小值的求法及其应用。

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要求会求和了解的是:平面曲线的切线与法线方程,导数的物理意义,用导数描述一些物理量,微分的四则运算和一阶微分的形式不变性,函数的微分,高阶导数的概念,简单函数的高阶导数,分段函数的导数,隐函数和由参数方程确定的函数以及反函数的导数,应用罗尔定理、朗格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理,用导数判断函数的凹凸性,函数图形的拐点以及垂直、水平和斜渐近线,描绘函数的图形,曲率、曲率圆和曲率半径的概念。

二、主要地位

微分学这部分内容是是高等数学的重要部分,导数作为高数的三大工具之一,每年必考。一元函数微分学是多元函数微分学的基础,尤其是导数的计算是偏导数计算的基础,至于一元函数微分学基础打好了,多元函数微分学学起来才得心应手。另外导数计算这部分也是后面不定积分计算的基础,如果导数计算相当熟练,求导公式熟记于心,不定积分计算这部分学习起来就能很顺利。这章在考试中每年必考,是一个比较容易命题并且具有一定综合性题目的章节。

三、常见题型

微分学这部分在同一张试卷上几乎有一半多的题目都会用到导数计算,除此之外该部分每年必会单独直接命题,既有大题又有小题,分值一般是2道小题(8分)和1道大题(10分),由此可见本章的重要性。

直接命题常见题型:(1)直接考察导数定义或可微定义;(2)导数计算:参数方程求导或隐函数求导或变限积分求导;(3)求函数的单调区间、凹凸区间、极值和拐点;(4)求切线与法线方程;(5)求渐近线;(6)用中值定理进行相关证明;(7)不等式证明;(8)根据已知函数图像画出导函数图像。其中(1)(2)(3)(4)(5)(8)常见于小题,(3)(6)(7)常见于大题。

间接命题:(1)与微分方程相结合;(2)与变限积分相结合;(3)与幂级数相结合。

由此可看出导数这部分在整个高数乃至考研数学中的重要性,就直接命题而言,分值就占到了20分左右,再加上间接用到导数的题目,甚至线性代数概率论与数理统计中也会用到导数,分值占得比重之大不言而喻。

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