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2016考研数学备考之导数的应用详解

来源: 跨考教育

2015-03-25 15:49:07

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  2016考研数学备考之导数的应用详解

  在考研数学中,导数的应用这一块是值得我们关注的。利用导数来研究函数单调性、判断函数的驻点、判定函数的极值、最值、拐点,以及不等式的证明、方程根的判别、渐近线的判定,是我们必须掌握的。这类题大都是以选择或填空的形式出现的,其中不等式证明和方程根的问题可以以大题形式出现,往年真题中也是有出现的。下面,跨考教育吴方方老师为大家为大家介绍导数应用的相关知识及方法。

  函数单调性的证明大都有两种方法,一是我们可以用定义来证,二就是根据一阶导的情况,来判断函数单调性的问题,而对于不等式的证明,我们是首选单调性来证明的,所以当不能用单调性来证明时,我们再考虑用其他方法来证明,有时可能用拉格朗日中值定理来证明,有的用最值来证明可能会更简单。

  函数极值点和拐点的证明,我们可以对比较来学习,它们的证明出用定义外,都有两个充分条件来判定。所以,我们在判定极值点或拐点时,当用它们的充分条件时一定要注意它们满足的条件再用,注意每个充分条件所满足的条件。第一充分条件和第二充分条件是我们判定极值点和拐点的重要工具。因此要求我们同学对这两个条件的内容要非常熟练。关于驻点和极值点的有关问题我们一定要先分清楚,驻点不一定是极值点,而极值点也不一定是驻点。我们只能说极值点的嫌疑点包括驻点和不可导点。而驻点和极值点之间是没有一定的包含关系的。

  考研数学中,闭区间上的最值求法,我们一般是先找出函数在开区间内的驻点和不可导点,计算这两点的函数值,然后再求出函数区间端点处的函数值,最后比较驻点、不可导点和端点处的函数值的大小,最大的就为最大值,最小的即为函数的最小值。而开区间 上的最值求法,是先求出两个端点处的极限值( ),然后求出驻点和不可导点的函数值,最后比较它们的大小,若两个端点处极限值最大或最小值了,则说明此函数在开区间上没有最大或最小值。

  方程根的问题在考研数学中也是经常出现的考题,判断方程根的情况是我们要求掌握的。对于要求判断方程根有且仅有几个根的问题,我们一般是先利用零点定理来证明其存在性,然后再单调性来判别其唯一性。有时对于驻点不容易求出来的,我们则可能要用:“若 至多有 个根,则 至多有 个根”来判断。此类问题是先用零点定理或者推广的零点定理来判断其至少有几个根,然后再用上面这个“罗尔原话”来判断至多有几个根这样便可证明有且仅有几个根的问题了。

  考研数学中关于导数应用这一块,有些很好结论也有助于我们判断极值点和拐点的,我们要熟记于心。利用导数研究曲线性态也是导数应用的重要内容。而关于渐近线的判断这一块主要考察在选择填空题中常用出现,学会以铅垂、水平、斜渐近线的顺序来判定渐近线类型是我们必须掌握的内容。

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