2017考研数学:如何把握线性代数的复习
最后更新时间:2015-12-12 15:27:43
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在初次接触线性代数的学习时,各位考生是不是都有同样的“不知其所云”的感觉呢?这是因为线性代数,特别是矩阵,自成一派,按照特定的规则和计算方法来运算,与我们以往学习的加减乘除、公式定理完全不一样,是一种全新的运算法则。对于这一既抽象又复杂的数学运算法则,很多考生都有这样的疑惑:“线性代数怎么复习?这么多知识点不能全记住吧?”。小编认为,知识点当然要全部记住,但是要看你怎么记,最后能记住多少了
我曾问过不少考生这个问题:线性代数的知识结构是树形结构还是网状结构?不少同学回答网状结构。考生首先应该把考纲规定的每个考点掌握好,接下来完成“归纳题型,总结方法”的任务(可以自己把参考资料总结的方法消化吸收,也可以把老师讲的方法消化吸收),接下来就是形成体系和强化重难点了。
如何形成体系呢?用核心的概念把相关的知识串起来是个不错的方法。比如n阶矩阵A可逆有多少等价条件?从行列式的角度是A的行列式不等于0,从向量的角度是A的列向量组或行向量组线性无关,从线性方程组的角度是Ax=0仅有零解或Ax=b有唯一解,从秩的角度是r(A)=n,从特征值的角度是A的特征值不含0,从二次型的角度是A的转置乘A正定。
还有,要有寻根究底的精神。比如,我们讨论下秩这个让考生百感交集的概念。首先要搞清楚秩是什么?线性代数中有两个秩:一个矩阵的秩,一个向量组的秩。矩阵的秩是矩阵非零子式的最高阶数。一个矩阵的秩为k意味着什么?要会“翻译”。“直接翻译”的结论是矩阵非零子式的最高阶数为k。只会“直接翻译”还不足以应对考题,还得会“间接翻译”:该矩阵存在k阶非零子式,并且该矩阵不存在k+1阶非零子式。再进一步思考:前半句话用秩的语言怎么描述?应为r(A)>=k;后半句话用秩的语言怎么描述?应为r(A)<=k。再思考:该矩阵不存在k+1阶非零子式包含几种情况?应有两种情况:1)矩阵存在k+1阶子式,但k+1阶子式全为0;2)矩阵不存在k+1阶子式(如矩阵是k阶方阵)。这样关于矩阵的秩的概念才理解到位了,但还需多做题才能达到熟练。
类似地,我们可以对“向量组的秩”这个概念做层层剖析。首先,向量组的秩是向量组的极大线性无关组所含向量的个数。什么是极大线性无关组?顾名思义即个数最多的线性无关的子向量组。但是严格的数学定义必不可少。这个地方提到一个问题:有同学对于比较抽象的概念比较头疼,试图抛开严格的数学表述,而通过举例子等方式理解,这样可以吗?不行。举例子确实有助于理解,但代替不了严格的数学表述。其实,定义理解好了,方法就是自然而然的了。考生可以思考相关问题:如极大无关组是否唯一?如果不唯一,那它们是什么关系?
还可以继续思考矩阵的秩和向量组的秩的关系。任给一个矩阵A,矩阵可以按列分块,也可以按行分块,这样我们可以得到三个秩——矩阵的秩,矩阵的列向量组的秩和矩阵的行向量组的秩。这三个秩是什么关系?结论是相等。这个结论不需要证明,会用即可。
看完了这些学习线性代数的方法,大家是不是对线性代数的复习充满了信心呢?其实,每一门学科的学习都需要恰当的方式方法,不能一条路走到黑,需要大家有随机应变的能力,不能盲目学习,只要找对了复习方法,那复习起来就事半功倍了。
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