【名师辅导】线性代数中的矩阵重难点分析

　　矩阵是线性代数的核心，在教育部考试中心所颁布的最新的考试大纲中，对矩阵部分规定的考试内容和考试要求如下：

　　1.考试内容：矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩，矩阵的等价，分块矩阵及其运算。

　　2.考试要求：

　　(1)理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵，反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质;

　　(2)掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质;

　　(3)理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵;

　　(4)了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求逆矩阵和秩的方法;

　　(5)了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。

　　下面，笔者将根据历年真题所呈现的题目类型，对矩阵部分考查的重难点进行逐一分析。

　　1.矩阵的概念。矩阵是由m×n个元素按照某种顺序排成的m行n列的数表;矩阵和行列式的区别：(1)矩阵的结果是个数表，行列式的结果是个数值;(2)矩阵的行数与列数可以等或者不等，行列式的行数和列数必须相等。

　　在矩阵中，若元素都是实数，则矩阵是实矩阵。在考研真题中，所讨论的一般都是实矩阵。此外，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵都是方阵。

　　2.矩阵的线性运算。

　　(1)矩阵的加法运算：只有同型矩阵的才能相加减;

　　(2)数乘矩阵：必须用数遍乘矩阵的所有元素;

　　(3)矩阵的乘法运算：对于AB，要求矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，AB才可以相乘，此外注意矩阵的乘法一般不满足交换律和消去律;

　　(4)方阵的幂运算：注意只有方阵才能做幂运算;

　　(5)方阵乘积的行列式：方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积，即

　　│AB│=│A│×│B│

　　3.逆矩阵是矩阵的主要概念，逆矩阵的运算是矩阵的重要运算。考纲要求考生掌握和理解逆矩阵的有关概念，掌握矩阵求逆的方法和逆矩阵的性质，具有快速求矩阵的逆和解矩阵方程的能力。

　　矩阵求逆题型主要有两种：

　　(1)数值型矩阵求逆：方法有初等行变换法和分块求逆法。

　　(2)抽象型矩阵求逆：方法有定义法和运算性质法。

　　4.正确理解矩阵初等变换的概念，会用矩阵初等行(列)变换将矩阵化成行(列)阶梯形。此外，考纲还要求考生熟练掌握初等变换和初等矩阵的关系：对矩阵A左乘一个初等矩阵，等于对A作相应的行变换;对矩阵A右乘一个初等矩阵，等于对A作相应的列变换。此考点的题型多为选择题。

　　5.理解矩阵的秩的概念，考纲要求考生掌握用初等变换求矩阵秩的方法。

　　6.矩阵的分块运算。重点内容有：

　　(1)矩阵按行或按列分块;

　　(2)分块矩阵的线性运算(加法和数乘);

　　(3)分块矩阵乘法运算;

　　(4)分块矩阵转置运算;

　　(5)分块矩阵的求逆计算;

　　(6)分块矩阵的幂运算。

　　参考资料：

　　1.《2019全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》，教育部考试中心，高等教育出版社

　　2.《1987-2019全国硕士研究生招生考试真题大全》，跨考教研室

　　(本文为跨考教育教研室包新卓老师原创，转载请注明出处。)