2018考研数学：从矩阵求方幂看命题老师的四板斧

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　　5月初，2018考研需要考数学的不少同学开始复习线性代数。矩阵求方幂是线代的常规题型，基础阶段便开始讨论。了解此种题型的考法，可以使同学的复习更有针对性。下面就和纬宇老师一起见识下命题老师的四板斧。

　　一、找规律

　　矩阵求方幂一般求A的n次幂，这必然要找规律。所以可以说找规律是此类题的最根本的方法，后几种类型本质上也是根据矩阵的特征找规律。

　　找规律最基本的方法是计算A的平方、A的三次方总结规律。方法不难，但也考过真题，如1999年数三真题。

　　二、秩为1的矩阵

　　所谓秩为1的矩阵指非零矩阵且按行按列成比例的矩阵。这种矩阵能以独特的方法找规律：

　　1.将矩阵分解成一列乘一行。

　　2.计算A的平方，A的三次方，总结规律。

　　3.按照规律写出A的n次幂的表达式。

　　详见1994年数一真题。

　　三、特殊的上三角或下三角

　　特殊的上三角矩阵指：主对角线元素相等的上三角矩阵。类似理解特殊的下三角矩阵。此种矩阵可按如下方法算方幂：

　　1.将该矩阵分解成一个数量阵和另一个矩阵的和，则A的n次幂等于A分解出的两个矩阵的和的n次幂。

　　2.利用二项式定理。

　　四、有相似关系

　　已知两个矩阵相似，求其中一个矩阵的n次幂。根据相似的定义，不难写出两个矩阵的等式关系。这就意味着一个矩阵能由另一个矩阵表示。进而一个矩阵的n次幂若不好直接算，就可以利用这两个矩阵的关系式，用另一个矩阵的n次幂表示(具体地，可以算A的平方、A的三次方找规律)。

　　至此，命题老师的四板斧用完了。可能有同学说：“命题老师水平也不过如此嘛，我识别出这四招，相应出招不就行了?”不可小瞧命题老师!请看2016年数一、二三这道真题。

　　已知A为一个数值型3阶方阵(9个元素均已知)，求A的99次幂。

　　这里有个真实的故事:当年考完结束后，我去上海出差，在高铁上碰到了一位参加复试的同学。这位同学已通过了一所985高校的初试。我首先祝贺他高分通过初试，接着问他数学考得怎样。他说：“别提了，我本打算数三考个一百三，结果只考了一百一十来分……”。 “哪个题感觉难?”“算99次幂的那个，开始没思路，后来算着算着不敢写了，数太大了……”

　　能给这位实力考生来个下马威，命题老师的四板斧不简单!

　　这个题属于求方幂的题。功底扎实并总结了题型的考生懂得按照题型排除：是否为找规律的?算个平方试试，感觉不可行。是否为秩为1的矩阵?已知矩阵不是按行按列成比例的，所以也不行。至于能用二项式定理算方幂，那得是特殊的上三角和下三角!而本题也不符合。只剩最后一种可能了：利用相似算方幂。

　　如果知道矩阵的相似关系，那本题就属于简单题。但本题没有告诉相似关系，所以难度陡然上升!不过仍有少数考生“真金不怕火炼”，想到考虑这个矩阵能否与对角矩阵相似，如果可以，那求出可逆阵和对角阵，进而利用相似算方幂……我似乎看到了命题老师露出了满意的微笑。

　　至此，我们对命题老师的四板斧有了大致的了解：若题型属于历年真题中的常规题型，且有提示条件，那就是常规招数;若属于历年真题中的常规题型，但无提示条件，那就是大招，需要考生主动创造条件，解决问题!

　　(跨考教育数学教研室 刘玮宇)

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