轻松搞定考研数学线性代数的大boss---特征值与特征向量

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　　特征值与特征向量是线性代数的重要内容，也是考研数学重要的考点之一。这一部分既是对前面矩阵、线性方程组知识的综合应用，也是后面二次型的基础。在考试中，本章所涉及的题目多，分值大，平均每年考查的分值在10分左右。

　　主要知识点有：特征值与特征向量的定义，特征值与特征向量的相关性质，矩阵的相似，矩阵相似的对角化的条件，实对称矩阵的性质，实对称矩阵的正交相似对角化。

　　在复习时，考生首先应该理解特征值特征向量的定义，掌握其计算方法和常用的性质。在此基础上，再理解矩阵的相似对角化及其条件。最后，对于实对称矩阵要掌握它的特殊性质，再结合前面特征值与特征向量与矩阵的相似对角化的相关知识综合解题。

　　常考的题型与方法技巧归纳如下：

　　1、 求数值型特征值与特征向量问题。 所谓数值型矩阵是指矩阵中的元素已知，此时又分数字型和字母型，对于数字型矩阵(此种情况最多)，求其特征值和特征向量的基本方法是特征方程法。需要注意的是，用该法解特征方程的时候，不要直接计算出行列式得到高次方程(3次以上)再去求根，因为高次方程的根是较难求解的。所以在计算特征方程时，要先利用行列式的性质从中提出未知参数的一次和二次因式(考研绝大多数情形均为3阶矩阵)，这样再求特征方程的根非常简单。对于字母型矩阵，求其特征值与特征向量，则一般用定义法。

　　2、 求抽象型矩阵的特征值与特征向量问题。此类题目可用特征值与特征向量定义以及定义得到的相关性质去解。

　　3、 特征值与特征向量的逆问题。所谓特征值与特征向量的逆问题是指已知或间接已知矩阵的特征值与特征向量的条件，反求矩阵或矩阵中的未知参数。典型题型有二：一是，已知矩阵及特征向量中含有未知参数，求参数的问题。二是，已知或根据已知可求出某矩阵的全部特征值和特征向量，反求未知矩阵。

　　4、 矩阵的相似对角化问题。此类问题主要包括三方面：(1)判断矩阵的相似对角化，(2)矩阵可相似对角化时，求相似变换矩阵及对角阵，(3)已知矩阵可相似对角化或不可相似对角化，求矩阵中未知参数。

　　5、 实对称矩阵的特征值与特征向量及相似对角化问题。

　　6、 特征值与特征向量的应用问题。该类问题主要体现在以下三个方面：(1)求方阵的高次幂，最难年份16年大题考查了该知识点。(2)求行列式的值。(3)求矩阵的秩。

　　以上是跨考数学教研室编老师对特征值与特征向量内容的解析，除了上述方法之外，最重要的还是要多练习，纸上得来终觉浅，须知此事要躬行。

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