2015考研线代复习：思而去罔 从主动思考开始

　　有同学认为：线性代数不好学，因为它比较抽象，不像高数可以画图，借助直观的图形去理解。难道线性代数只能抽象地理解吗?当然不是。我与这个同学进行了讨论，很快就发现了几个让这个貌似抽象的家伙接地气的方式：二维向量不就是中学咱们常在平面上画的箭头吗?两个二维向量线性相关，表现在代数上是对应分量成比例，表现在几何上不就是平面上的向量平行或共线吗?矩阵是一张数表，C语言中定义的二维数组不就是一个矩阵吗?咱们电脑中用的EXCEL，如果在一块矩形区域的每个小格都存了数字不就是一个矩阵吗?多想一步，别有洞天。我们平时的学习是否太拘泥于课本，而忽略了主动地思考，进而失去了融会贯通的机会呢?

　　学而不思则罔，思而不学则殆。真正的学习应该是学与思的均衡。在这种状态下学习，不仅能够做到对知识的透彻理解，而且能体会到学习的乐趣。记得有人说过：真正的学人应该是好奇的、探索的。带着好奇心，主动去探索，就会有别样的收获。

　　以下仅为跨考教育数学教研室刘玮宇老师个人的粗浅体会，抛砖引玉，期待与广大考生交流切磋。

　　一、内容

　　1. 二阶常系数齐次线性微分方程的解为什么是这个样子?

　　尽管二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程考纲有明确要求，但我相信仍不少考生没有思考过这个问题。他们可能觉得微分方程会识别类型，记住解法就行了，没必要知道为什么要这样解。有的老师也给学生建议：“像背单词一样把二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法背下来”。这样有个问题：很容易忘。如何对抗遗忘?思考!多思考，找到知识之间的联系就不容易忘了。如何思考?提问是思考的一个开端。拒绝机械地记忆，能简单推导的可以推导;不好推导的，可以“理解性地记忆”。比如上面的问题，咱们可以把三种形式的解代入微分方程中算算，对理解，对记忆都有帮助。

　　2. 考研数学中有不少“推广”，有多少同学总结过这些吗：有多少推广?推广前后有哪些相同和不同?

　　(1)一维随机变量与多维随机变量

　　在学习多维随机变量时，我们可以先回顾一维随机变量的内容。那么，关于一维随机变量我们学习了哪些内容呢?

　　首先是定义，什么是随机变量?随机变量是定义在样本空间上的函数(与高数中的函数不同)。它的作用是把随机试验的可能结果数量化了，便于用数学工具处理。那么什么是二维随机变量(多维我们主要考虑二维)?就是把两个定义在同一个样本空间上的随机变量放在一起考虑，或者说是定义在样本空间上的向量值函数。

　　继续回忆：如何描述一个随机变量X?通用的工具是不是分布函数?分布函数F(x)是什么?它是概率，是随机变量X落入(负无穷, x]这个区间的概率。那么推广过来，我们要描述一个二维随机变量(X,Y)，也可以用分布函数。一维对应着一元函数F(x)，二维自然对应二元函数F(x, y);一维分布函数是X落入一个区间的概率，相应地二维分布函数是(X,Y)落入一个区域的概率，与(负无穷, x]这个区间对应，这个区域是(负无穷, x]乘(负无穷, y]。

　　在讨论了分布函数的概念后，我们可以进一步讨论分布函数的性质。思考一下，一维随机变量的分布函数有哪些性质?“单调不减”，“0,1之间”和“右连续”，并且这三条性质合起来是一个函数可以作为某个随机变量的分布函数的充要条件。那么推广一下，不难得到二维随机变量的分布函数的性质，有需要注意的地方吗?第一条和第三条性质需要加上“关于x”(或者“关于y”)。“关于”是什么意思?就是把另一个变量固定，再考虑问题。第二条性质推广前的部分内容是F(正无穷)=1，F(负无穷)=0，推广之后变为F(正无穷,正无穷)=1，F(负无穷，y)=0，F(x,负无穷)=0，F(负无穷,负无穷)=0。为什么会这样?关键在F(x, y)中那个逗号，是“且”的意思。还有一条性质可以结合图形来理解，考得不多。当然二维随机变量的分布函数的这几条性质是否是充要条件?这点考研不要求。

　　我们知道，描述一维随机变量，除了分布函数外，还有分布律和概率密度。它们是与离散型和连续型随机变量对应的。那么二维随机变量是否也有离散型和连续型，也有相应的分布律和概率密度?对应推广过来不就行了?

　　下面的这些“推广”，你能否自己总结?

　　(2)一元函数极限与二重极限

　　(3)一元函数连续与二元函数连续

　　(4)一元函数可微与多元函数可微

　　(5)定积分与二重积分

　　(6)二重积分与三重积分

　　3. 学数学同时也学了英语，理解了汉语同时也记住了数学符号。这状态听起来不错，要不要试一下?

　　(1) 微分的符号为什么是“d”?为什么常用“I”表示一个定积分?矩阵转置的符号为什么是“T”?

　　“d”是微分的英文differential的首字母;“I”是积分的英文integral 的首字母;“T”是转置的英文transpose 的首字母。