2015考研线性代数得分点总结

最后更新时间:2014-12-19 14:07:56
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  (2)齐次线性方程组的解与秩和极大无关组的联系

  同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”。经过 “秩→线性相关、无关→线性方程组解的判定”的逻辑链条,就可以判定列向量组线性相关时,齐次线性方程组有非零解,且齐次线性方程组的解向量可以通过r个线性无关的解向量(基础解系)线性表示。

  (3)非齐次线性方程组与线性表出的联系

  非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由列向量

  三、特征值与特征向量

  相对于前两章来说,本章不是线性代数这门课的理论重点,但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容——既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关性,“牵一发而动全身”。

  本章知识要点如下:

  1. 特征值和特征向量的定义及计算方法就是记牢一系列公式和性质。

  2. 相似矩阵及其性质,需要区分矩阵的相似、等价与合同:

  3. 矩阵可相似对角化的条件,包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件一是n阶矩阵有n个线性无关的特征值;二是任意r重特征根对应有r个线性无关的特征向量。

  4. 实对称矩阵及其相似对角化,n阶实对称矩阵必可正交相似于以其特征值为对角元素的对角阵。

  四、二次型

  这部分所讲的内容从根本上讲是特征值和特征向量的一个延伸,因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵,必存在正交矩阵,使其可以相似对角化”,其过程就是上一章实对称矩阵相似对角化的应用。

  本章核心要点如下:

  1. 用正交变换化二次型为标准型。

  2. 正定二次型的判断与证明。

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