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考研数学:线性代数真题命题特点

来源: 跨考教育

2015-09-02 17:19:27

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  总体来说,在考研数学真题中,线性代数主要包括六部分的内容,行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。  

 

  ▶行列式部分

  熟练掌握行列式的计算。

  行列式实质上是一个数或含有字母的式子,如何把这个数算出来,一般情况下很少用行列式的定义进行求解,而往往采用行列式的性质将其化成上或下三角行列式进行计算,或是采用降阶法(按行或按列展开定理),甚至有时两种方法同时用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等等。小伙伴们只要掌握了基本方法即可。

  ▶矩阵部分

  重视矩阵运算,掌握矩阵秩的应用。

  通过考研数学历年真题分类统计与考点分布,矩阵部分的考点集中在逆矩阵、伴随矩阵、矩阵的秩及矩阵方程的考查。此外,含随矩阵的矩阵方程,矩阵与行列式的关系、逆矩阵的求法也是我们需要掌握的知识点。涉及秩的应用,包含秩与矩阵可逆的关系,矩阵及其伴随矩阵秩之间的关系,矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,矩阵等价与向量组等价的区别与联系,系数矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析。

  ▶向量部分

  理解相关无关概念,灵活进行判定。

  向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重,也是考研线性代数每年必出的考点。要求考生掌握线性相关、线性表出、线性无关的定义。以及如何判断向量组线性相关及线性无关的方法。向量组的秩和极大无关组以及向量组等价这些重要的知识点要求同学们一定一定掌握到位。

  这是线性代数前三个内容的命题特点,而行列式的矩阵是整个线性代数的基础,对于行列式的计算及矩阵的运算与一些重要的性质与结论请小伙伴们一定要务必掌握,否则的话,对于后面四部分的学习会越学越难,希望同学们在复习过程中一定注意前面内容的复习,为后面的考研数学复习打好基础。

  前面我们已经分析过,考研数学线性代数这门学科整体的特点是知识点之间的综合性比较强,有些概念较为抽象,这也是大部分人认为考研数学线性代数不好学,根本找不到复习的头绪,做题时也是一头雾水,不知道怎么分析考虑。

  所以大家在学习过程中一定要注意知识间之间的关联性,理解概率的实质。如:矩阵的秩与向量组的秩之间的关联,矩阵等价与向量组等价的区别,矩阵等价、相似、合同三者之间的区别与联系、矩阵相似对角化与实对称矩阵正交变换对角化二者之间的区别与联系等等。若是大家对于上面的问题根本分不清楚,则说明大家对于基本概念、基本方法还没有完全理解透彻。不过,大家也不要太焦急,希望小伙伴在后期的复习过程中对于基本概念、基本方法要多加理解和体会,学习一定要有心得。

  ▶线性方程组

  会求两类方程组的解。

  线性方程组是线性代数这么学科的核心和枢纽,很多问题的解决都离不开解方程组。因而线性方程组解的问题是每年必考的知识点。对于齐次线性方程组,我们需要掌握基础解系的概念,以及如何求一个方程组的基础解系。清楚明了基础解系所含线性无关解向量的个数和系数矩阵的秩之间的关系。会判断非齐次线性方程组的解的情况,掌握其求解的方法。此外,我们还需要掌握非齐次线性方程组与其对应的齐次线性方程组的解结构之间的关系。

  ▶特征值与特征向量

  掌握矩阵对角化的方法。

  这一部分是理论性较强的,理解特征值与特征向量的定义及性质,矩阵相似的定义,矩阵对角化的定义。小伙伴们还需掌握求矩阵特征值与特征向量的基本方法。会判断一个矩阵是否可以对角化,若可以的话,需要把相应的可逆矩阵P求出来。还需要注意矩阵及其关联矩阵(转置、逆、伴随、相似)的特征值与特征向量的关系。反问题也是喜欢考查的一类题型,已知矩阵的特征值与特征向量,反求矩阵A。

  ▶二次型

  理解二次型标准化的过程,掌握实对称矩阵的对角化。二次型几乎是每年必考的一道大题,一般考查的是采用正交变换法将二次型标准化。掌握二次型的标准形与规范型之间的区别与联系。会判断二次型是否正定的一般方法。讨论矩阵等价、相似、合同的关系。

  虽然线性代数在考研数学考试试卷中仅有5题,占有34分的分值,但是这34分也不是很轻松就能拿下的。小伙伴们在复习过程中需要对于基础知识点理解透彻,做考研数学题过程中多分析总结。

 

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