【考研名师辅导】2020考研管综：关于抽签问题的研究

　　记得高中课本上有一个这样的结论,在不知道前面的人是否抽中签的情况下,每个人抽中签的概率是相同的.这句话也就意味着如果后面的人知道了前面的人抽签的结果,那么每个人抽中签的概率就不相等了.那么这样会不会造成抽签不公平呢?其实不然，抽签原理来自全概率公式，是指抽签的顺序和中签的概率无关。我觉得正是因为知道了前面的人是否中签的情况下，后面的人中签概率发生变化，才恰恰说明抽签是公平的，与顺序无关。至于前面的人抽签结果对后面的人中签情况影响体现在两个方面：

　　一方面，如果已知前面的人中签，会降低后面的人中签概率。例如，有十支签，其中有两支“好签”，如果已知第一个人把好签抽去的情况下，那么剩下的人每个人中签的概率就会变成1/9。如果所有“好签”都被抽出的话，那么后面的人中签概率将会降为0。

　　另一方面，已知前面的人都没中签的情况，那么后面的人中签概率会增加。例如，有十支签，其中有两支“好签”，如果已知第一个人没有抽中的情况下，那么剩下的人每个人中签的概率就会变成2/9。如果剩下的人数等于“好签”数目的话，那么中签概率会增加到100%。

　　综上所述我们知道了前面抽签的人的结果对后面的抽签的人的影响，那么后面抽签的人的结果对前面的人是不是也有同样的影响呢?显然只有一个“好签”的情况下，如果知道后面的人中签，先抽签的人中签的概率就会降为0。那么后抽签的人发现没有中签，前面抽签的人中签的概率是不是也会相应增加呢?

　　记得以前有个综艺节目，主办方会准备三个外表相同的盒子，但是其中只有一个是有礼物的，另外两个是空的，主持人会让嘉宾选择一个，选好后主持人会打开一个空的盒子(他是知道结果的，嘉宾无论选中与否都有一个空盒子可以打开)，然后给嘉宾一个选择：是否用选择的盒子去换另一个未打开的盒子。这个时候意见有两种：一种是换，因为选中空盒子的概率是2/3，换了以后就能选中有礼物的盒子，换了选中的概率是2/3。另一种是换不换都行，因为礼物一定在这两个盒子之中，所以每个盒子有礼物的概率都是1/2，所以换不换都可以。

　　那么到底哪种说法正确呢?我们到底换还是不换呢?换不换的概率真的都是1/2吗?我们可以把盒子的数目扩大到100个，如果你选完之后，主持人打开了98个空盒子，这个时候你还能说你选中的盒子和剩下的盒子有礼物的概率都是1/2吗?其实这相当于你只选了一个，但是别人选了剩下的所有，自然是不对等的，换才是正解。这个就是后抽签的人未中签对于前面抽签的人的结果的影响。也就是说前面的人未中签会增加后他之后抽签的人中签的概率，但是后抽签的人未中签不会增加前面抽签的人中签的概率(不是最后一个抽签的人)。

　　我大胆的预测一道抽签原理的问题：十个人抽十支签，其中只有一支“好签”，第一个抽完之后打开发现没有中，第二个抽完签之后没有在第一时间打开，这时第三个人抽完也打开了发现没中，剩下的七个人还没有抽，那么这第二个人中签的概率是多少?

　　A.1/10 B.1/9 C.1/8 D.1/7 E.1/6

　　聪明的你想一想选什么呢?

　　(本文为跨考教育教研室梁轶群老师原创，转载请注明出处。)