命题人新思路系列二：因数分解之穷举

　　同学们好，我是跨考考研初数教研室的郑良聪，为你们专心研究初数，尺量命题的大葱老师。现在是初数复习的基础阶段，同学们的主要任务是了解考试特点，明确考察内容，打好基础功底。除此之外，还要将眼光放远，为暑期第二阶段的复习提前铺路;要复习方向正确以及不做无用题，总结一下就是做符合命题人思路来命制的题。今天我就整数部分的因数分解这个点给大家做分析。

　　·知识奥义
 

　　·真题品鉴

　　(2017)某机构向12位教师征题，共征集到5种题型的试题52道，则能确定供题教师的人数.

　　(1)每位供题教师提供题数相同.

　　(2)每位供题教师提供的题型不超过2种.

　　【答案】C

　　【解析】根据52=2×26,52=4×13，

　　由条件(1)可知老师人数可能为2或4。因此，条件(1)不充分。

　　满足条件(2)的可以有4个老师也可以有12个老师等情况，因此不能确定供题教师的人数。

　　明显条件(1)、(2)不充分。(1)(2)联合52=2×26,52=4×13，当人数为2人时征集到的题目数为最多为4道， 可得教师人数只能为4人。此题选C

　　【点评】在17年这道题之前，关于整数命题中整数分解比较常见，但未出现整数分解若干种情况穷举再排除，选出正确的分解方式的题目，而破题的关键是把整数全面的分解穷举，同时注意隐含推理条件的使用。这是一个命制题目的新思路，难度一般能达到中上，把原来最简单的题目做了一个拔高。

　　·举一反三

　　1、某考研机构老师一行不超过8人到彩票店买彩票刮奖，共刮了10种彩票，合计42张，则可确定买彩票的老师人数

　　(1)每位买彩票的老师买的张数相同，至少两人买

　　(2)每人买3种彩票，买票人数为质数

　　【答案】C

　　【解析】

　　(1)反例，设买彩票老师人数为a，每人买票数为b，a≤8，42=7×6=14×3，所以a为3或6或7，无法确定，不充分;

　　(2)不充分，每个人买彩票数量不确定，人数无法确定;

　　(1)+(2)，由(1)可知，买彩票老师人数是3或6或7，因为每人买3种彩票，3人最多买9种彩票，不可能是10种，排除3人，因为是质数，故人数是7，充分。

　　2、甲、乙、丙三人打靶，每人打三枪，三人各自中靶环数之积都是60，且环数是不超过10的自然数，把三个人总环数由高到低排列依次是甲乙丙，那么靶子上4环那一枪是( )打的

　　(A)乙或丙 (B)甲 (C)乙 (D)丙 (E)甲或乙

　　2、【答案】D

　　【解析】把60分解成若干个自然数60=1×2×2×3×5，再把这些因数重组成三个数相乘就是每个人的中靶情况;如果5单独做一枪环数，那么剩下两个数可以是2,6或3,4;若5不单独做一个数，5要和2相乘，那么剩下两个数可以是2,3或1,6;所以三人中靶情况如下：(10,2,3)15环，(10,6,1)17环，(6,5,2)13环, (5,4,3)12环，4环只出现在理论上最低总环数里，而总环数最低的是丙，所以4环一定是丙打的.

　　3、某同学在做一道计算两位数乘以两位数的题目时，把一个乘数中的5 看成了8，得到的乘积是1104，那么正确的乘积是( )

　　(A)690 (B)725 (C)940 (D)1035

　　3、【答案】D

　　【解析】对错误的乘积1104进行质因数分解有1104=2×2×2×2×3×23，然后将1104重组为两个两位数之积，穷举情况如下：

　　1104=(2×2×2×2×3)×23=48×23;1104=(2×2×2×2)×(3×23)=16×69;

　　1104=(2×2×2×3)×(23×2)=24×26;1104=(2×2×3)×(23×2×2)=12×92。

　　只有第一种情况里48含有8，故正确两数乘积只可能是45×23=1035。

　　同学们，你感受到命题人对整数的因数分解出题的思路了吗?如果觉得有道理，就和本年近三旬的老人一起勤学苦练吧。

　　(本文为跨考教育教研室郑良聪老师原创，转载请注明出处。)