【跨考名师辅导】疑点解析：排列组合中的“分房”问题

　　在今年的教学中，仍然发现排列组合是很多同学的疑难点，这部分内容在理解上容易出现偏差。很多文科生在高中阶段没接触过这部分内容;有些地区高考对于排列组合的考查要求很低，导致很多考生在此的基础十分薄弱;最直接的表现的表现就是对一类问题从逻辑上理解有偏差，而这些“想当然”的理解乍一听还有些道理，学生便以此作为依据在这个问题的认识上自恰，形成了一些根深蒂固的错误认识。比如今天要探讨的“分房”问题。

　　分房问题是排列组合里分派问题中的一种，需要用乘法原理解决。先看题目背景：将n个人等可能的任意分到m个房间里的分派种数。使用条件：(1)人不同;(2)房间不同;(3)任意分(房间可以重复使用)。解法是用分步乘法原理，让n个人分为n步依次选择房间，每个人都可选m个房间中的一种，有m种选法，共有种方法。先解释使用条件：(1)人不同;若人相同，事实上人选哪个房间是没有区别的，会产生大量重复情况;(2)房间不同;若房间相同，这个问题实际上成了把n个人分成了m个组，每组人任选，就成了分组问题;(3)任意分(房间可以重复使用);若每个房间只能被选一次，在下一步里人可选择的房间将变少，不再是m种选法。

　　来看这个典型问题：10个人分到8个房间入住，每间房可入住多人，有多少种住法?答案是。因为甲、乙、丙、丁……这10个人要住进A，B，C，D……这8间房，甲可以有8种选择，乙有8种选择，丙有8种选择……

　　有同学问，为什么不是呢?按照这个同学的思路，房子A选人，有10种选择;房子B选人，有10种选择;房子C选人，有10种选择……一共有种方法。这种想法乍一看有点道理，其实经不起逻辑上的推敲。如果房子A选人，有10种选择，假如选了甲，因为人只能被选一次，或者说一个人不可能同时入住两个房间，所以在下一步房子B选人，有10种选择是不可能的，必然小于10种选择。有同学又说，那就不重复选人：房子A选人，有10种选择;房子B选人，有9种选择;房子C选人，有8种选择……显然，这题就被曲解成了10个人入住8个房间，每个房间至少有一人入住，有多少种分派方法?这种问题要用分组再分配的方法解决。

　　这类问题，我们把其中的元素分为两类：可重复元素和不可重复元素。可重复元素例如分房问题里的房，下车问题里的车站等，称为“店”;不可重复元素比如分房问题里的人，下车问题里的人等，称为“客”。计算结果简记为()这样一种指数形式。大家只需判断出谁是“店”，将其个数放在底数位置，另一个元素放在指数位置即可。

　　思考下面这个问题，5名学生争夺三项比赛冠军，获得冠军的可能情况有多少种?答案是，这题非常易错，很多同学把规律用死了，认为人一定是“客”，于是客选奖，为。假如所有人都选一种奖，而一种奖只能由一个人获得，显然是错的。这里一个人是可以获得多个奖的，可重复，因此看做店，奖项不可重复获得，看作客，因此是。

　　(本文为跨考教育教研室郑良聪老师原创，转载请注明出处。)