【名师辅导】线性代数中的向量重难点分析（上）

　　向量是线性代数的抽象部分，是求解线性方程组的基础。在教育部考试中心所颁布的最新的考试大纲中，对向量部分规定的考试内容和考试要求如下：

　　1.考试内容：向量的概念，向量的线性组合与线性表示，向量组的线性相关与线性无关，向量组的极大线性无关组，等价向量组，向量组的秩，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间及其相关概念(数学(一))，n维向量空间的基变换与坐标变换(数学(一)))，过渡矩阵(数学(一))，向量，向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法，规范正交基(数学(一)))，正交矩阵及其性质。

　　2.考试要求：

　　(1)理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念;

　　(2)理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法;

　　(3)理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，回求向量组的极大线性无关组及秩;

　　(4)理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系;

　　(5)理解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特方法;

　　(6)理解正交矩阵的概念及其性质;

　　(7)了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标，规范正交基等概念(数学(一)));

　　(8)了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵(数学(一)).

　　接下来，笔者将根据历年真题所呈现的题目类型，对矩阵部分考查的重难点进行逐一分析。

　　1.n维向量、向量的线性组合与线性表示：考纲要求考生具有用线性表示的定义和性质判断一个向量能否由一组向量线性表示的能力，会将一个向量用一组向量线性表示。

　　示例：

　　2.等价向量组。这里要求考生会用等价向量组的定义和性质判断两个给定的向量组是否等价，会根据向量组是否等价确定向量组中的参数，从而解答含参数向量组的等价问题。

　　示例：

　　3.向量组的线性相关、线性无关：考生必须掌握利用定义和判定定理判定向量组线性相关性的能力。

　　示例：

　　参考资料：

　　1.《2019全国硕士研究生招生考试数学考试大纲》，教育部考试中心，高等教育出版社

　　2.《1987-2019全国硕士研究生招生考试真题大全》，跨考教研室

　　(本文为跨考教育教研室包新卓老师原创，转载请注明出处。)