2018考研数学大纲预测 ——线性代数复习重点
根据考研数学的考察目标和学生的学习特点,我们可以把数学学习的重点分为基础、方法和熟练。对于2018考研的学生来说,现阶段的任务是掌握方法。以线代的第一章行列式为例,这一章主要是行列式的计算,行列式的计算可以分为数值型行列式的计算和抽象型行列式计算,而数值型的行列式的计算整体的思想就是降阶,方法包括展开定理、拉普拉斯展开定理、范德蒙行列式、三角化和递推公式。其中当行列式的某行(列)只有一个或两个非0元的时候,可以用展开定理,如果不满足这种条件,就可以找1化0,利用行列式性质化简;当行列式0元素比较多,又比较集中时,可以考虑用拉普拉斯展开定理计算行列式;当行列式的行(列)成比例时,可以用范德蒙行列式公式计算行列式,当然一般不会直接让你计算一个标准的范德蒙行列式,肯定是给你一个疑似范德蒙的行列式,需要你变形之后才能用范德蒙行列式的计算公式;两种特点的行列式适合用三角化的方法,一个是行和、列和相等的行列式,一个是主对角线元素一致(或近似),其余元素相等(或成比例),针对第一个特点,行(列)和相等加到第一列(行),然后将第一列(行)的元素提出,三角化就可以将行列式化成上三角(或下三角)行列式,针对第二个特点,可以先将行列式化为爪形行列式,再化成上三角(或下三角)行列式;当一个行列式写成数列的形式,比如 ,我们就可以用递推公式,利用行列式展开定理找到递推关系,就可以算出来了,有的题找一次递推关系就可以了,而有的题要找两次递推关系才能把题算出来。抽象行列式的计算方法包括利用行列式性质、利用矩阵运算、利用相关公式、利用单位矩阵变形和利用特征值。各章都要总结出题型和方法,然后就可以用学到的方法大量的刷题了。
在一张考研数学试卷中,数一、数二、数三的线性代数满分都是34分,包括两个选择题、一个填空题,每题4分,共12分,两道大题,每题一般11分,共22分。
接下来我们看一下线性代数这个学科各章的重点内容。线性代数一共六章的内容:行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型。数学教研室统计了近十年的线代的考频(包括数一、数二、数三):1、行列式。近十年中,直接考察行列式的频率为10次。行列式是线性代数的计算工具,直接考察的频率不高,但后面的章节要用到行列式的计算,比如从行列式的角度判定一个方程组有没有解、特征值的计算。2、矩阵。矩阵近十年的考频是24次,但矩阵的考频应该是30次,因为矩阵是线性代数的研究对象,后面的线性方程组、特征值与特征向量等,我们都要研究矩阵的秩,都是在研究方程组。这个24次,实际上是直接考察矩阵的频率。3、向量。向量近十年的考频是22次。向量是比较抽象的一章,并且和后面的线性方程组联系密切。4、线性方程组。线性方程组的考频是30次,也就是说线性方程组无论考大题还是考小题,年年考察,并且近十年多以大题为主。2017年第一道线代的大题就是考的线性方程组解的结构问题。5、特征值与特征向量。特征值与特征向量近十年考频是22次,特征值与特征向量这章包括了相似对角化及正交相似对角化,是后面二次型的基础。6、二次型。二次型近十年考频是28次,二次型是线代的最后一章,也是一个集大成者的章节,会用到前面的很多知识。特征值与特征向量、二次型这两章一般会出一道大题,2017年的第二道大题就考的就是用正交变换化二次型为标准形。
所以线性代数的两道大题经常出在后面四个章,而后四章,线性方程组和二次型的频率比较高,线性代数要想考出好成绩,必须要把两道大题拿下。
(跨考教育数学教研室 张艳宏 转载请注明出处)
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