2012年考研数学（一）考试大纲高等数学部分

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　　高等数学、线性代数、概率论与数理统计

　　试卷

　　（一）题分及考试时间

　　试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

　　（二）内容比例

　　高等教学约60％

　　线性代数约20%

　　概率论与数理统计20％

　　（三）题型比例

　　填空题与选择题约40％

　　解答题(包括证明题)约60%

　　高等数学

　　一、函数、极限、连续

　　考试内容

　　函数的概念及表示法函数的有界性(有界和收敛的关系存在正数M使f(x)
　　数列极限(转化为函数极限单调有界定积分夹逼定理)与函数极限(四则变换无穷小代换积分中值定理洛必塔法则泰勒公式-要齐次展开)的定义及其性质(局部保号性)函数的左极限与右极限(注意正负号)无穷小(以零为极限)和无穷大(大于任意正数)的概念及其关系无穷小的性质(和性质积性质)及无穷小的比较(求导定阶)极限的四则运算(要在各自极限存在的条件下)极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：

　　函数连续的概念(点极限存在且等于函数值)函数间断点的类型(第一型(有定义)：可去型，跳跃型第二型(无定义)：无穷型，振荡型)初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质(零点定理介值定理)

　　考试要求

　　1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

　　2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

　　3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．

　　4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.

　　5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．

　　6．掌握极限的性质及四则运算法则

　　7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

　　8．理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限．

　　9．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．

　　10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．

　　二、一元函数微分学

　　考试内容。

　　导数和微分的概念(点可导与域可导的关系)导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数(数学归纳法赖布妮子公式法)一阶微分形式的不变性微分中值定理(闭区间连续开区间可导ζ不是常数)洛必达（L‘Hospital）法则(注意使用条件洛必塔求解不存在时，原极限可能存在)函数单调性的判别(利用导数)函数的极值(极值的判定：定义一阶去心邻域可导且左右邻域导数异号二阶可导且该点一阶导为零)函数图形的凹凸性(证明)、拐点及渐近线(求解步骤：垂直水平斜)函数图形的描绘函数最大值和最小值弧微分曲率的概念(有绝对值注意参数方程公式)曲率半径

　　考试要求

　　1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系．

　　2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式．了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分(后面要加上dx)．

　　3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数．

　　4．会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数

　　5．理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理(典型函数的展开)，了解并会用柯西中值定理．

　　6．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法．(洛必达法则受阻时：拆项积分中值中值定理)

　　7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法(一阶导定点二阶导定性)，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用．

　　8．会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形．

　　9．了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径．

　　三、一元函数积分学

　　考试内容

　　原函数和不定积分的概念(被积函数的要求连续只是原函数存在的充分条件)不定积分的基本性质(线性和差与求导互逆)基本积分公式定积分的概念(求极限的应用)和基本性质(注意上下限的位置线性分区间上限大于下限时比大小估值定理)定积分中值定理用定积分表达和计算质心积分上限的函数及其导数牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式不定积分和定积分的换元积分法(换元要彻底，不要忘了dx定积分换元要注意上下限也要换)与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分广义积分概定积分的应用

　　考试要求

　　1．理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念．

　　2．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法(常见代换：倒代换三角换元万能代换不要跳步计算，以免出现毁灭性的低级失误)．

　　3．会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分．

　　4．理解积分上限的函数，会求它的导数(用处远非于此，常与罗尔定理结合解决零点问题)，掌握牛顿一莱布尼茨公式．

　　5．了解广义积分的概念，会计算广义积分(用极限的观点)．

　　6．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力）及函数的平均值等．

　　四、向量代数和空间解析几何

　　考试内容

　　向量的概念(自由移动)向量的线性运算向量的数量积(是数可交换)和向量积(是向量交换后变号)向量的混合积(交换的性质与行列式性质相同几何意义用于求异面直线的距离)两向量垂直(数量积为零)、平行(向量积与零向量)的条件两向量的夹角(面面线线线面)向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程(点法式截距式一般式平面束方程)、直线方程(对称式参数式一般式)平面与平面、平面与直线、直线与直线的以及平行、垂直的条件(转化为向量之间的关系)点到平面和点到直线的距离(利用平行四边形)球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程

　　考试要求

　　1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

　　2．掌握向量的运算（线性运算、数量积(求向量夹角判定垂直)、向量积(平行四边形面积及点到直线的距离)、混合积(求六面体体积及异面直线公垂线长判定三个向量是否共面)），了解两个向量垂直、平行的条件。

　　3．理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

　　4．掌握平面方程(点法式混合积)和直线方程(点向失一般式)及其求法。

　　5．会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互絭（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

　　6．会求点到直线以及点到平面的距离。

　　7.了解曲面方程和空间曲线方程的概念。

　　8.了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

　　9.了解空间曲线的参数方程和一般方程.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

　　五、多元函数微分学

　　考试内容

　　多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限(极限存在的判定)和连续的概念有界闭区域上多元连续函数的性质(有界性最值存在介值定理)多元函数偏导数和全微分(和全增量的区别)全微分存在的必要条件(连续偏导存在任意方向的方向导数存在)和充分条件(偏导存在且连续)多元复合函数、隐函数的求导法二阶偏导数方向导数和梯度空间曲线的切线和法平面(参数方程-注意以x，y，z为参数方程组)曲面的切平面和法线二元函数的二阶泰勒公式多元函数的极值和条件极值多元函数的最大值、最小值及其简单应用

　　考试要求

　　1．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

　　2．了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

　　3．理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

　　4．理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

　　5．掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

　　6．了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

　　7．了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

　　8．了解二元函数的二阶泰勒公式。

　　9．理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值(解方程时要小心哦)，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

　　六、多元函数积分学

　　考试内容

　　二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲线积分的关系格林（Green）公式平面曲线积分与路径无关的条件(注意单连通域与复连通域的区别)已知全微分求原函数两类曲线积分的概念、性质及计算两类曲面积分的关系高斯（Gauss）公式斯托克斯（STOKES)公式散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用

　　考试要求

　　1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。

　　2．掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。

　　3．理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

　　4．掌握计算两类曲线积分的方法。

　　5．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径元关的条件，会求全微分的原函数。

　　6．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分。

　　7．了解散度与旋度的概念，并会计算。

　　8．会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。

　　七、无穷级数

　　考试内容

　　常数项级数(级数是数列和的概念)的收敛与发散的概念收敛级数的和(和函数)的概念级数的基本性质与收敛的必要条件(一般项趋零)几何级数与p级数以及它们的收敛性正项级数收敛性的判别法(比较根值比值)交错级数与莱布尼茨定理(一般项趋零递减)任意项级数的绝对收敛与条件收敛函数项级数的收敛域与和函数的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域幂级数的和函数(有收敛域的要求)幂级数在其收敛区间内的基本性质(阿贝尔定理及其推论连续性可积可导且收敛区间不变)简单幂级数的和函数的求法(有收敛域的要求)初等幂级数展开式(有收敛域的要求)函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数狄利克雷（Dlrichlei）定理函数在[-l，l]上的傅里叶级数函数在[0，l]上的正弦级数和余弦级数

　　考试要求

　　1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

　　2．掌握几何级数与p级数的收敛与发散的条件。

　　3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

　　4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

　　5.了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

　　6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

　　7．理解幂级数的收敛半径的概念、并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

　　8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。

　　9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件(泰勒余项极限为零)。

　　10．掌握ex、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)α的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

　　11．了解傅里叶级数的概念和狄利克雷收敛定理，会将定义在[-L，L]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，L]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

　　八、常微分方程

　　考试内容

　　常微分方程的基本概念变量可分离的方程齐次微分方程一阶线性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用简单的变量代换求解的某些微分方程可降阶的高阶微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程简单的二阶常系数非齐次线性微分方程欧拉（Euler）方程微分方程简单应用

　　考试要求

　　1．了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念

　　2．掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法．

　　3．会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程

　　4．会用降阶法解下列方程：y（n）＝f（x），y’‘=f（x，y’）和y‘’＝f（y，y‘）．

　　5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理．

　　6．掌握二队常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。

　　7．会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程．

　　8．会解欧拉方程．

　　9．会用微分方程解决一些简单的应用问题．

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