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2016考研数学大纲专题解析之不等式证明

来源: 跨考教育

2015-09-18 09:36:01

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  新考研大纲如约而至。对考生而言,关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师,考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习,已具备一定基础,也对真题中的题型有一定了解,但未必形成知识体系,重难点也未必完全把握。所以,借助此次与广大考生交流的机会,跨考教育数学教研室刘玮宇老师梳理了高等数学中的重难点,以期给正在全力攀登的考生搭一把手。

  专题二 不等式证明

  不等式证明是真题中常考大题的地方,其中2014年的字母不等式的证明题有不少同学就找不到思路。下面我们梳理不等式证明的基本题型以及处理思路。

  1. 基本思路

  考虑一道题:证明f(x)>g(x),x属于(a,b)。如何证明呢?能否带入验证呢?即便有愚公移山的精神也不行!因为太行王屋二山再大,体积质量毕竟有限;而(a,b)中的实数确是真真切切的无穷多,所以带入验证的工作成了货真价实的“子子孙孙无穷匮也”。那有什么可行的思路呢?注意到,待证不等式可恒等变形为f(x)-g(x)>0,如果令F(x)=f(x)-g(x),进一步可化为F(x)>0,x属于(a,b)。如何证明一个函数在一个范围恒大于零呢?仅需证明其在该范围的最小值大于或等于0即可。而找一个函数在一个区间(考虑(a,b)对应的闭区间)上的最小值应该不难。

  好,我们由此得到了证明函数不等式的基本思路:移项构造辅助函数,结合单调性证明该函数的最小值大于等于零即可。具体解题有什么步骤吗?基本步骤如下:1)移项构造辅助函数;2)计算区间端点处的函数值(常有一个端点处的函数值为0,不妨设左端点的函数值为0);3)仅需证明函数单增即可,也即证明导函数大于或等于0对于开区间成立。

  2.若干变形

  以上是函数不等式证明的基本思路,真题中有什么变形呢?首先,如果待证的不等式形式较复杂,得考虑先化简:若不等式两边有公因子,考虑约去公因子(考虑公因子的正负对不等号的影响);若待证不等式有分母,考虑去分母;若待证不等式是指数式,考虑不等号两边取对数。

  其次,在第2)个计算步骤中,若端点函数值不存在,那怎么办?用极限代替即可。再者,“仅需证明函数单增”只是咱们的美好愿望,如果实现不了呢?从图像上看,已知函数在区间左端点的函数值为零,如果函数单增,那么函数在整个区间的图像确实是位于x轴的上方;而如果函数如果不是单增,那图像也有可能位于x轴的上方。换言之,函数单增仅是不等式成立的充分条件。不必担心,若愿望落空,回到最基本的思路即可:证明函数在区间上的最小值大于等于零即可。

  3. 字母不等式

  以去年的那道证明题为例,要证的是不等式,但不含x而含有字母a,b,如何处理?以往的真题中出现过x1、x2这些非x的字母。这类不等式统称字母不等式。处理方式出乎意料的简单:把其中一个字母看成常量,另一个字母看成变量(或者替换为x),字母不等式就化为函数不等式,进而按照函数不等式的处理思路处理即可。赵本山的小品中老虎把乌龟看成穿上马甲的蛇闹出了笑话,咱们现在把字母不等式看成穿上马甲的函数不等式不仅不是笑话,而且是正确的处理方式。

  4. 积分不等式

  积分不等式长得比较吓人,但我要套用毛爷爷那句话:一切积分不等式都是纸老虎!这不是盲目自信,而是事实确是如此。积分不等式也属函数不等式,只不过穿上了积分这个马甲。处理思路是函数不等式的思路结合积分的性质。

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