考研数学必考题型之幂级数展开与求和

　　级数在考研数学中属于数一和数三要考查的内容，考点有三：(1)常数项级数敛散性判(2)幂级数展开与求和(3)傅里叶级数，其中常数项敛散性判别主要以选择题进行考察，幂级数展开与求和主要以解答题形式考查，傅里叶级数是数学一单独考查内容。下面咱们主要解读这部分的核心内容：幂级数展开与求和。

　　幂级数展开与求和属于高频考点，学好展开与求和至关重要。首先，我们需要两大工具：(1)常见泰勒级数及收敛域;(2)幂级数性质：逐项展开与逐项求导。其次，要掌握常用方法。

　　展开常用方法，一是直接展开，这种考法较少，二是间接展开，以这种考法居多。间接展开解题的要点如下。

　　(1)转化，将函数f(x)在某非零点处展开，转化到在x=0处展开。

　　(2)拆项，将函数拆成两项之和或差，然后利用常见函数的幂级数展开将两个展开式求和或者求差便可。如1995年数三的解答题就是把对数函数拆成两个对数函数之和然后用泰勒级数直接展开即可。

　　(3)因式分解，将函数分解成两项之积，一般其中一个因式为低次(至多为二次)多项式，另一个用常见幂级数展开式展开。如2006年数一级数的那道大题就是因式分解成两个分式然后分别泰勒展开。

　　(4)求导法，先对函数求导，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项积分，这种考法比较常见如1994年、2001年数学一都是这么考查的。

　　(5)积分法，先对函数积分，再用常见幂级数展开式展开，最后逐项求导，与(4)类似属于常考题型。

　　幂级数求和是展开的逆问题，比展开要难，考研中常用到的方法如下。

　　(1)直接套用已知的基本展开式，后者拆后套用。

　　(2)系数的分母中含有n的阶乘的，考虑用指数函数,或者正弦函数与余弦函数的某种组合。

　　(3)系数的分母中含有n、n+1、n+2的可以先逐项求导。系数的分子中含有n、n+1、n+2的可以先逐项积分。

　　除此之外，展开与求和部分还会考一些综合性题目，如跟微分方程、积分等结合在一起考查。

　　展开和求和的常规题型，大家要做到看到题就要有思路，提起笔就能顺畅的写出答案，这还是离不开多练习，练习才是正道!

　　(跨考教育数学教研室 田晓辉)