2014考研数学:级数之五步搞定法_跨考网
考研备考中,对高等数学的级数这部分的复习有很多同学存在困扰,究其原因,可能是因为其与微积分的联系不是很紧密。但是关于级数敛散性的判别有一些常规步骤,掌握了这些步骤,在其后才能灵活运用它解决更多综合性的题目。》》考研数学复习指导
级数题型及思路(以下内容整理自《高等数学过关与提高》下册):
一、判定正项级数的敛散性
1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零(如果不易看出,可跳过这一步)。若不趋于零,则级数发散;若趋于零,则
2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是书籍的,如果不是几何级数或p级数,则
3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则
4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等。
二、判定交错级数的敛散性
1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定。
2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定。
3.一般情况下,若级数发散,级数未必发散;但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散。
4.有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定。
三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域
1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域。
2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径。
四、求幂级数的和函数与数项级数的和
1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和。
2.求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限;或转化为幂级数的和函数在某点的函数值。
五、将函数展开为傅里叶级数
将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系。
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