考研教材高等数学课后习题解读

　　基础阶段的复习是以课本为主，主要任务两个，一是学习知识点(定义、定理、公式)并理解它们，二是完成一定的课后习题以检验自己对知识点的掌握程度。

　　很多人在学习中都容易忽视课本，觉得比起那些专门的参考资料，课本上的习题实际上是没什么值得关注的，但其实不然，一套经典的教材，它所配的习题很多都有值得我们去挖掘的地方。

　　那么接下来我就说说我对我们用的教材上课后习题的解读，希望能给同学们提示。因为高数的题目比较多，而我感觉每章的总习题有着更好的总结性，所以主要就说说总习题一到十二里我感觉值得注意的一些题目吧。

　　总习题一：

　　1是填空题，是考察与极限有关的一些概念，这个是很重要的，要掌握好。而且几乎每章的总习题都设了填空题，均与这些章节的重要概念有关。所以每章的总习题里的填空题所涉及的知识点，比如谁是谁的什么条件之类，务必要搞清楚。

　　2是无穷小的阶的比较

　　3、4、5、6是与函数有关的题目，这个是学好高数的基础，但却不是高数侧重的内容，熟悉即可

　　7用定义证明极限，较难，一般来说能理解极限的概念就可以了

　　8典型题，求各种类型极限，重要，6个小题各代表一种类型，其实求极限的题目基本跳不出这六种框架了

　　9典型题，选择合适的参数，使函数连续，用连续的定义即可

　　10典型题，判断函数的间断点类型，按间断点的分类即可

　　11较难的极限题，这里是要用到夹逼原理，此类题目技巧性强，体会一下即可

　　12证明零点存在的问题，要用到连续函数介值定理，重要的证明题型之一，必需掌握

　　13该题目给出了渐近线的定义以及求法，要作为一个知识点来掌握，重要

　　综上，第一章总习题要着重掌握的是1、2、8、9、10、12、13题

　　总习题二：

　　1填空题，不多说了，重点

　　2非常好的一道题目，考察了与导数有关的一些说法，其中的干扰项(B)(C)设置的比较巧妙，因为平时我们一般只注意到导数在某点存在的条件是左右导数都存在且相等，容易忽视另一个重要条件：函数必须要在该点连续，否则何来可导?而(B)(C)项的问题正是在于即使其中的极限存在，也不能保证函数在该点连续，因为根本就没出现f(a)，所以对f(x)在a处的情况是不清楚的。而对(A)项来说只能保证右导数存在。只有(D)项是能确实的推出可导的

　　3物理应用现在基本不要求了

　　4按定义求导数，不难，应该掌握

　　5常见题型，判断函数在间断点处的导数情况，按定义即可

　　6典型题，讨论函数在间断点处的连续性和可导性，均按定义即可

　　7求函数的导数，计算层面的考察，第二章学习的主要内容

　　8求二阶导数，同上题

　　9求高阶导数，需注意总结规律，难度稍大，体会思路即可

　　10求隐函数的导数，重要，常考题型

　　11求参数方程的导数，同样是常考题型

　　12导数的几何应用，重要题型

　　13、14、15不作要求

　　综上，第二章总习题需重点掌握的题目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

　　第三章的习题都比较难，需要多总结和体会解题思路

　　总习题三

　　1零点个数的讨论问题，典型题，需掌握

　　2又一道设置巧妙的题目，解决方法有很多，通过二阶导的符号来判断函数增量与导数、微分的大小关系，07年真题就有一道题目由此题改造而来，需重点体会

　　3举反例，随便找个有跳跃点的函数即可

　　4中值定理和极限的综合应用，重要题目，主要从中体会中值定理的妙处

　　5零点问题，可用反证法结合罗尔定理，也可正面推证，确定出函数的单调区间即可，此题非典型题

　　6、7、8中值定理典型题，要证明存在零点，可构造适当的辅助函数，再利用罗尔定理，此类题非常重要，要细心体会解答给出的方法

　　9非常见题型，了解即可

　　10罗必达法则应用，重要题型，重点掌握

　　11不等式，一般可用导数推征，典型题

　　12、13极值及最值问题，需要掌握，不过相对来说多元函数的这类问题更重要些

　　14、15、16不作要求

　　17非常重要的一道题目，设计的很好，需要注意题目条件中并未给出f''可导，故不能连用两次洛必达法则，只能用一次洛必达法则再用定义，这是此题的亮点

　　18无穷小的阶的比较，一是可直接按定义，二是可将函数泰勒展开，都能得到结果，此题考察的是如何判断两个量的阶的大小，重要

　　19对凹凸性定义的推广，用泰勒公式展开到二阶可较方便的解决，此题可看作泰勒公式应用的一个实例，重在体会其思想

　　20确定合适的常数，使得函数为给定的无穷小量，典型题，且难度不大

　　综上，第三章总习题需要重点掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

　　第四章没有什么可说的重点，能做多少是多少吧……

　　积分的题目是做不完的。

　　当然，如果你以那种不破楼兰终不还的决心和气势，最终把所有题目搞定了，这还是值得恭喜的，尽管可能这会花掉很多时间，但仍然是值得的……因为这有效的锻炼了思维。

　　总习题五

　　1填空，重要，但第(2)、(3)问涉及广义积分，不作要求

　　2典型题，前3题用定积分定义求极限，需重点掌握，尤其是要体会如何把和式改写为相应的积分式，积分区间和被积函数如何定，这个是需要适当的练习才能把握好的，后2题涉及积分上限函数求导，也是常见题型

　　3分别列出三种积分计算中最可能出现的错误，需细心体会，重要

　　4利用定积分的估值证明不等式，技巧性较强

　　5两个著名不等式的积分形式，不作强制要求，了解即可

　　6此题证明要用5题中的柯西不等式，不作要求

　　7计算定积分，典型题

　　8证明两个积分相等，可用一般方法，也可利用二重积分的交换积分次序，设计巧妙的重点题目

　　9同样是利用导数证明不等式，只不过对象变得比一般函数复杂，是积分上限函数，但本质和第三章的类似题目无区别，不难掌握

　　10分段求积分，典型题

　　11证明积分第一中值定理，要用到连续函数的介值定理，难度高于积分中值定理的证明，可作为提高和锻炼性质的练习

　　综上，总习题五需要重点掌握的题目是1、2、3、7、8、9、10

　　定积分的应用一块的考察，现在更偏重的是几何应用

　　1物理应用，跳过

　　2所涉及到的图形较为复杂，是两个圆，其中第二个是旋转了一定角度的圆，不易看出，此题可作为一个提高性质的练习

　　3重点题，积分的几何应用和极值问题相结合，常考题型之一

　　4旋转体体积，需注意的是绕哪条线形成的旋转体，所绕的轴不同的话，结果不同

　　5求弧长，非典型题，了解即可

　　6、7、8均为物理应用，不作要求，有兴趣的不妨一试

　　综上，总习题六实际上就2、3、4题需要引起注意

　　第七章空间解析几何，只对数一的同学有要求，数二三四的就直接pass吧

　　总习题七

　　1填空，向量代数的基本练习，必不可少

　　2、3、4、5都是平面向量几何的题目，不太重要，不过适当练习可以培养起用向量的方式来思考问题的习惯

　　7、8、9、10、11都是与向量有关的运算，包括加(减)，数乘、点积(相应的意义是一个向量在另一个向量的投影)、两向量的夹角、叉积(相应的意义是平行四边形的面积)，要通过这些题目熟悉向量的各种运算，重要

　　12用证明题的形式来考察对混合积的掌握，需掌握

　　13按定义写点的轨迹方程，解析几何中的常见题，了解基本做法即可

　　14旋转曲面相关题目，非常重要，要搞清楚绕某一轴旋转后的旋转曲面写法

　　15、16求平面的方程，顺带可复习平面方程的类型，这类问题的解决办法一般是先从立体几何中考虑，想到做法再翻译成解析几何的语言，重在思路的考察，需多加练习

　　17求直线方程，同上题

　　18解析几何与极值的混合问题，也是一类典型题

　　19、20考察投影曲线和投影面，这部分知识是多重积分计算的基础，要重点掌握

　　21画出曲面所围的立体图形，有一定难度，是对空间想象能力的锻炼，尽量都掌握

　　综上，总习题七需重点掌握的题目是1、7、8、9、10、11、12、14、15、16、17、18、19、20

　　下册的内容有很多数二数三数四不考，因此我在解读习题时尽量标注出是数一要求的，大家平时也多查查考纲或者翻翻计划，这样对于哪些考哪些不考就更清楚了。

　　总习题八：

　　1填空，很重要

　　2选择，着重考查一条说法，偏导数存在未必可微，这个是无论数几都需要的，还有就是偏导数的几何应用，这个只数一要求

　　3基本题，求二元函数的定义域和极限，因为是初等函数，直接用“代入法”求极限就可以了

　　4典型题，判断极限存在性，考察如果证明一个二元函数的极限是不存在的(常用方法是取两条路径)

　　5典型题，求偏导数，注意在连续区间内按求导法则求，在间断点处只能按定义求

　　6求高阶偏导数，到二阶的题目需要熟练掌握

　　7微分的概念，简单题目，直接按微分和增量的定义即可

　　8重点题型，对一个二元函数，考察其在某点的连续性、偏导存在情况和可微性，务必熟练此类题目

　　9、10、11、12复合函数求偏导的链式法则，重点题型，要多加练习的一类题目，复合函数中哪些自变量是独立的，哪些是不独立的，还有各自对应关系，判断好这些是解题的关键

　　13、14分别是极坐标和直角坐标情形下偏导数的几何应用，数一要求

　　15、16方向导数相关题目，该知识点与第十一章联系密切，重要，数一要求

　　17、18多元函数的极值问题，典型题，且通常都是结合条件极值来考，这类题目一定要熟练，其中08年真题中一道极值题目就是把17题中的柱面改成锥面，其它完全一样，由此可见对课本要重新重视。

　　综上，总习题八需要重点掌握的题目是1、2、4、5、6、8、9、10、11、12、13(数一)、14(数一)、15(数一)、16(数一)、17、18

　　第九章的内容中，二重积分以外的内容是数二三四不要求的，就不在题号后一一写明了

　　总习题九

　　1选择题，实际是考察多重积分的对称性，属于典型题，在多重积分的情况下，对称性的应用比定积分要复杂，重要，第(1)小问是三重积分，只数一要求，第(2)小问是二重积分

　　2、3基本题型，计算二重积分或者是交换二重积分的顺序，需要熟练掌握

　　4利用交换积分次序证明等式，体会一下方法即可

　　5基本题型，利用极坐标计算二重积分，实际上在计算多重积分时本就要求根据不同的积分区域选择合适的坐标系，这是一个基本能力，重要

　　6确定三重积分的积分区域，比较锻炼空间想象能力的一类题，重要

　　7计算三重积分，基本题型，仍然要注意区域不同，所选坐标系不同

　　8重积分的几何应用，从二重积分的角度，或者从三重积分的角度都可以求解，此题要求数二三四考生也掌握

　　9、10、11是重积分的物理应用，不作要求

　　综上，总习题九需要重点掌握的题目是1、2、3、5、6、7、8

　　第十章的内容全部针对数一

　　总习题十

　　1填空，相关知识点是两类线、面积分之间的联系，重要

　　2选择，考察的是第一类曲面积分的对称性，与重积分的对称性类同，重点题型。需要注意，第二类线、面积分与第一类会有所不同，因为第二类线、面积分的被积元也有符号，这是和第一类线、面积分的区别

　　3计算曲线积分，基本题型，需要多加练习，六个小题基本覆盖了曲线积分计算题的类型

　　4计算曲面积分，基本题型，要求同上题。注意在计算线、面积分时，方法很多，常用的有直接转化成定积分或二重积分，或用Green公式，Guass定理，在用这两个定理时又要注意其成立的条件是所围区域不能有奇点，甚至不是闭区域要先补线或者补面，此类题目一定要熟练掌握

　　5全微分的相关等价说法，典型题，顺带可回顾一下与全微分有关的一系列等价命题

　　6、7线面积分的物理应用，不作要求

　　8证明，涉及的知识点多，覆盖面广，通过此题的练习可回忆和巩固线面积分的几乎所有知识点(把梯度和方向导数包括进来了)，推荐掌握

　　9从流量的角度出发理解第二类曲面积分，基本题型

　　10用Stokes定理积分空间曲线积分，基本题型，01年考过

　　综上，总习题十需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、8、9、10

　　第十一章是级数，数二数四不要求，其中傅立叶级数对数三无要求

　　总习题十一

　　1填空，涉及级数敛散性的相关说法，重要

　　2判断正项级数的收敛性，典型题，综合应用比较、比值、根值三种方法，在用比较判别法时实际就是比较两个通项是否同阶无穷小，这样可让思路更清晰

　　3抽象级数的概念题，重点题型之一，要利用级数收敛的相关性质判断

　　4设置了陷阱的概念题，因为比较判别法只对正项级数成立，也是重点题型之一

　　5判断级数的绝对收敛和条件收敛，典型题，通过这些练习来加强对这类题目的熟练度

　　6利用收敛级数的通项趋于零这一说法来判断极限，体会方法即可

　　7求幂级数的收敛域，典型题，要多加练习，注意搞清楚收敛域、收敛半径、收敛区域的区别

　　8求幂级数的和函数，典型题，重要，一般求和函数都不用直接法而用间接法，即通过对通项作变形(逐项积分或求导等)，再利用已知的常见函数的展开式得到结果，注意求出和函数不要忘记相应的收敛域。

　　9利用构造幂级数来求数项级数的和，也是一类重要题型

　　10将函数展开为幂级数，与8是互为反问题，仍是多用间接展开法，方法上异曲同工，需要熟练掌握，同样注意不要忘记收敛域

　　11、12傅立叶级数的相关题目，基本题，此类题目记得相应的系数表达式就可解决，一般来说至少要掌握周期为pi的情形。注意傅氏级数展开的系数公式难记，只能平时多加回顾，还有不要忽略了在非连续点展开后的傅氏级数的收敛情况(即狄利赫莱收敛定理)

　　综上，总习题十一需要重点掌握的题目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

　　第十二章微分方程，二阶以上的方程对数四不作要求，下面不再详细说明

　　总习题十二

　　1填空，涉及微分方程理论的若干说法，基本题，第(2)问只数一要求

　　2通过解的形式观察出相应的微分方程，典型题，其中第(2)问更重要

　　3、4求解不同类型的微分方程，通过这些题目的练习，基本对各种方程的解法有一定了解，同时也培养了一些解题思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的几个小题只数一有要求

　　5微分方程的几何应用，基本题

　　6微分方程的物理应用，不作要求

　　7由积分方程推导微分方程，典型题，要求掌握

　　8用变量代换化简微分方程，典型题，只对数一有要求，注意在代换过程中要搞清楚变量和变量的对应关系

　　9涉及微分方程基本理论的题目，非常见题型，但可体会其出题思路

　　10欧拉方程的练习，数一要求