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2016考研数学大纲专题解析之一元积分

来源: 跨考教育

2015-09-18 09:37:29

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  新考研大纲如约而至。对考生而言,关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师,考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习,已具备一定基础,也对真题中的题型有一定了解,但未必形成知识体系,重难点也未必完全把握。所以,借助此次与广大考生交流的机会,跨考教育数学教研室刘玮宇老师梳理了高等数学中的重难点,以期给正在全力攀登的考生搭一把手。

  专题四 一元积分

  一元积分包括三部分内容:不定积分、定积分和广义积分。下面逐一讨论。

  1. 不定积分

  不定积分主要考什么?概念、性质、计算?计算!下面就梳理一下不定积分的计算方法。该方法可总结为“一个基础两个方法”。所谓“一个基础”指:有理函数积分的处理方法;所谓“两个方法”指根式的处理方法和分部积分法。

  何谓有理函数积分?即被积函数为有理函数的积分。而有理函数即分子分母分别为n次和m次多项式的函数。有理函数积分是整个不定积分计算的基础,因为很多其他类型的积分(如指数有理式积分、三角有理式积分等)可化为有理函数积分。考试直接考有理函数积分的可能性不大,但可能间接考,也就是在计算过程中的某一步用到有理函数积分的处理方法。那如何处理?简单说就是在老旧危房的墙壁上我们经常看到的那个字——拆。如何拆?教材和较权威的辅导书上都有讨论,总结起来有三种情况:被积函数若含有x-a这种一次因子,则被积函数拆出一项A/(x-a),其中A为待定参数;若含有(x-a)^2这种二次因子,则被积函数拆出两项A/(x-a)+ B/(x-a)^2;若含有x^2+ax+b这种二次因子(该抛物线无零点),则被积函数拆出一项(Ax+B)/(x^2+ax+b)。

  接下来,讨论根式的处理。若被积函数含有根号,我们自然想到去根号。如何去根号取决于根号下面表达式的具体形式:如果根号下面是关于x的一次式子,那么整体令成t,就能达到去根号的效果;如果根号下面是关于x的二次式子,要去根号,我们可以考虑通过换元让根号下面整体出现一个平方,这时要借助一些三角恒等式,如根号下面是1-x^2,我们令x=sint就能达到效果;如果根号下面是其他形式,基本思路也是去根号,可类似上面考虑。当然,这里的“换元”更严格的表述是不定积分的换元,注意不光要把被积函数中的变量换掉,还要把微分号中的变量也换成新的积分变量。

  说着说着就说到了考试的重点内容分部积分了。首先要把分部积分的公式弄清楚,可以这样形式地记忆:被积函数是两个函数的乘积,先把一个函数凑微分(从形式上看就是把这个函数拿到微分号中),进一步等于新的积分式中的两个函数相乘减去两个函数交换位置。

  接下来要处理好“何时用”和“怎么用”这两个问题。数学上的道理和生活中的道理是相通的:打游戏时想放大招,若把握不好这两个问题,那就可能出现不该放招时放了大招而该放大招时却没有大招了,也可能出现想放大招却放不出的囧境;打篮球时要用好自己的身体,如果这两个问题处理不好,就可能在不恰当的时间出现在不合适的位置,想为球队做贡献却总是添乱。那么什么时候想到用分部积分法呢?有两个信号(满足其一即可):1)被积函数是不同类型函数之积;2)被积函数含有对数函数、反三角函数和多项式等求导后比自己简单的函数。

  如果确定用分部积分法,那么u(x)和v'(x)的选取是个关键问题。如何选?观察分部积分公式,不难发现等号左边有u(x),而等号右边会出现u'(x),说明求导后比自己简单的函数适合作为u(x),如lnx,arctanx和多项式等;另外,等号左边有v'(x),第一步需要把v'(x)拿到微分号中,说明容易凑微分的函数适合作为v'(x),如sinx,exp(x)等。

  考试考不定积分计算主要考察根式的处理和分部积分法。有多种小的类型,如“一箭双雕”型(用变量代换这支箭射下根号和反三角函数这两只雕),“相互抵消”型(两项单独用分部积分难以算出结果,但在计算过程中这两项能抵消)等。需大量练习才能达到熟练的要求。

  2. 定积分

  先说定积分的定义。几何意义是曲边梯形面积的代数和。特殊情况下(区间取[0,1],等分,在每个小区间上取右端点处的函数值)的定积分定义可作为一个公式求一种特殊类型的极限——n项分母互不相同的分式的和的极限。此外,数一数二同学还需掌握微元法的基本思想。

  再说定积分的性质。定积分的大部分性质在计算过程中经常用到,在此不必赘述。值得一提的是比较定理。该定理告诉我们,比较定积分的大小,在保证积分区间相同的情况下,实质上就是比较被积函数的大小。考试考定积分的比较本质上都是在考比较定理。

  微积分基本定理从本质上解决了定积分的计算问题。根据牛顿—莱布尼兹公式,求定积分在被积函数连续的情况下只需求出被积函数的一个原函数,再计算其函数值之差即可。

  下面我们说说定积分有什么特殊性质。首先是对称区间积分,我们比较熟悉的是被积函数是奇函数或偶函数时的性质,此外真题中出现了一种新的情形:被积函数有一个因子是偶函数且其余部分有特殊性质,也有相应的结论。可以记住这个结论,用它来做同种类型的题目。接着就是做变量代换后区间不变的情况。如被积函数为f(sinx),积分区间为0到pi/2,若做变量代换:x= pi/2-t可得到另一个积分,从形式上看,相当于把原积分的sin换成了cos。这也可以为我们解题提供思路。此外,就是定积分的分部积分法。这里有若干种小的类型,如被积函数含有抽象函数的导函数f'(x), f'' (x)等,被积函数含有变限积分均可考虑定积分的分部积分法。另外,作为全面复习,“点火公式”(被积函数为sinx的n次幂,积分区间为0到pi/2)也不应放过。

  3. 广义积分

  广义积分不少同学不熟悉,实际上考研要求很明确:会用定义判断广义积分的敛散性;会计算广义积分。

  定积分要存在需满足两条:积分区间有限且被积函数有界。破坏这些条件得到的积分称为广义积分。具体说来,无穷区间的广义积分有三种:积分上限为无穷,积分下限为无穷,积分上、下限均为无穷;无界函数的广义积分(也称瑕积分,因为被积函数在积分区间无界,在区间内部或端点处一定有让被积函数无界的点,这种“不好”的点我们称为瑕点)也有三种:瑕点在区间的左端点,瑕点在区间的右端点,瑕点在区间的内部。

  广义积分收敛发散的定义的形式看起来较复杂,可以按照如下方式理解:把广义积分按照定积分的牛顿-莱布尼兹公式算出来(把正负无穷带入看成取极限,瑕点处的函数值也看成取极限),如果结果是个数,则广义积分收敛;如果不存在,则广义积分发散。

  这里要特别注意两类积分:积分上、下限均为无穷的广义积分和瑕点在区间的内部的广义积分。前者在用牛顿-莱布尼兹公式之前,要用0把积分区间拆成两个区间,进而把积分拆成两个积分,然后运用前面的方法讨论这两个积分的敛散性,原积分收敛的充要条件是这两个积分都收敛;后者要用瑕点把积分区间拆成两个区间,进而把积分拆成两个积分,然后运用前面的方法讨论这两个积分的敛散性,原积分收敛的充要条件是这两个积分都收敛。

  广义积分的计算就是定积分加取极限。如果是上文提到的那两种特殊类型的广义积分,先拆成两个积分,再计算即可。

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