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数学:知其所以然,才能举一反三

来源: 跨考教育

2015-05-04 14:55:17

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  上篇文章我们提到推导过程对数学方法和处理方式的运用,这是当然是解题必备,另外,如果细心的同学就会注意到,通过这个推导过程,我们还能得到一元二次方程中一个非常重要的式子——根的判别式。在此文章中,跨考教育马燕老师继续和大家深入探讨。

数学:知其所以然,才能举一反三

  回到之前的配方式,(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/(4a^2)。在实数域内,等式左边表示是一个实数的平方,我们都知道一个实数的平方一定是一个非负数,但是等式右边关于系数a、b、c的式子算出来的数并不一定是非负数,如果是一个负数的话,该等式在实数域内是不可能成立的,意味着该方程无根;如果等式右边是零的话,就意味着x+b/2a只能为零,该方程只有一个根x=-b/2a(或者说两个相等的实数根);若等式右边是一个正数,x+b/2a是可以等于两个不同的值的,即该方程有两个根。上述一直在讨论根的个数的问题,也就是一元二次方程的根的个数是需要由等式右边(b^2-4ac)/(4a^2)的正负来决定的。

  此时,又出现了另外一个问题,初中数学中根的判别式并不是这个分式,而只有该分式的分子,即判别式=b^2-4ac,这又是为何呢?不难发现,我们得到的这个分式的分母4a^2在a不等于0的时候一定是大于零的数,因此整个分式的正负直接由其分子决定,即判别式只需等于b^2-4ac即可判定一元二次方程根的个数。这就跟我们初中的记忆重叠在一起了,根的判别式b^2-4ac大于零时,方程有两个不同的实数根;等于零时,方程有两个相等的实数根;小于零时,方程无实数根。当然,这只是在实数域内讨论问题,若将数域扩充到复数域,这将意味着小于零的时候,方程是有两个虚根的。管综数学基础的考试数域是实数域,因此不需要考虑虚根的情况。

  不仅仅如此,我们知道了公式是怎么来的,知道它怎么用,还需要研究该公式能有什么样的变形,将其扩展,使其应用的更广泛。

  当方程有两个不相等的实数根时,如果对两根进行加法运算,将会得到一个很重要的数学式子,即两根之和=-b/a;另外还可以对其进行乘法运算,就得到另外一个重要式子即两根之积=c/a。这两个等式都在讨论根与系数的关系,也就是我们在初中学习的韦达定理。那我们就可以注意到,韦达定理是对两根进行求和、求乘积的运算,其前提必定是方程必须有根,因此大前提就是用韦达定理,方程的判别式必须大于等于零。那么,在满足这个前提条件时,韦达定理有着怎样的应用呢?

  韦达定理既是将方程的根和方程的系数结合在一起,那么在根与系数关系判定中就起到很大的作用。它的第一个应用就是求值问题,当已知条件是一个一元二次方程,所求代数式比较复杂,且是关于两根的,就可以将所求代数式转化为与两根之和、两根之积有关系的代数式,直接利用韦达定理整体带入求值即可;第二个应用就是根的正负问题了,在判别式大于等于零的前提下,利用两根之和、两根之积的正负来确定两根的正负,此方法有效避免了解分式不等式的繁琐步骤,大大提升解题速度。这也是管综数学基础考试中考查的重点之一。

  现在知道了方程的求根推导过程,也知道了其变形式韦达定理是怎样得到的,就不必刻意去记忆此公式了。如果只是单纯记住公式的话,应用的灵活度方面将会有很大的局限性了。

  总之,大家在学习数学知识时,不仅要知其然,更要知其所以然,对其来龙去脉了解清楚,在理解过程中不仅仅能达到记忆的目的,更能灵活应用,这才是数学的学习王道。

  文章来源:跨考教育

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