2014考研数学备考线性代数重点（二）

　　在实际生活中，我们常常会遇到许多与n个变量x1，x2，…，xn构成的二次齐次多项式f(x1，x2，…，xn)相关的问题(如二次曲面问题、多元函数的极值问题等)，我们将这种多项式称为一个n元二次型。》》考研数学复习指导

　　可以看到，与线性方程组类似，对二次型的性质起决定作用的是自变量的系数及其相对位置，这提示我们可以把这些系数排成的一个n阶矩阵A，用矩阵的工具来研究二次型，具体做法是：

　　令X=(x1，x2，…，xn)’，则二次型f(x1，x2，…，xn)可以写成：

　　f(x1，x2，…，xn)=X’AX

　　其中A称为二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵，它的特点是：主对角线上的元素是完全平方项的系数，(i，j)位置上的元素是交叉项系数的一半，这决定了二次型矩阵的对称性和唯一性。

　　我们知道，矩阵的一个应用是线性变换，即关系式X=CY表示的是从变量x1，x2，…，xn到变量y1，y2，…，yn的一个线性变换，一般来说，我们还要求这种变换是可逆的(即C可逆)。从坐标变换的角度来看，向量R在X坐标系下的分量x1，x2，…，xn与Y坐标系下的分量y1，y2，…，yn通过转换矩阵C相联系，这表明：同一个向量实体在不同坐标系下可以有不同的表现形式，但本质上并无区别。

　　利用线性变换X=C*Y，变量X的一个二次型f(x1，x2，…，xn)=X’AX可以变成

　　(CY)’A(CY)=Y’C’ACY=Y’(C’AC)Y

　　设C’AC=B，则有Y’BY=f(y1，y2，…，yn)，这是变量Y的一个二次型，不难验证，B正是二次型f(y1，y2，…，yn)的矩阵。

　　从坐标变换的角度来看，与向量类似，同一个二次型f在不同的坐标系下可以有不同的表现形式，两者通过关系式C’AC=B相联系，但本质上并无区别。

　　对矩阵A、B来说，如果存在着可逆矩阵C，使得C’AC=B，我们称A与B是合同的，不难推断，合同的矩阵有相同的秩，且对应着同一个二次型。特别地，如果矩阵A与对角矩阵∧合同，那这个对角矩阵∧对应的就是一个只含完全平方项的二次型，称为标准型。将二次型化为标准型来进行研究，因为不含交叉项，问题变得简单许多。

　　注意到二次型的矩阵总是对称矩阵，故对于实数域上的二次型X’AX来说，其矩阵A必可正交对角化，故必定存在一个正交矩阵Q，使得Q逆*A*Q=∧，同时考虑到Q’=Q逆，因此Q’AQ=∧，即A合同于对角矩阵。也就是说，对实数域上的任意一个二次型，都能够通过合适的坐标变换化为标准型。从坐标变换的角度来看，我们总可以找到一个合适的坐标系，在该坐标系中，二次型f以相对较为简单的，仅含完全平方项的形式表现出来，而这些完全平方项的系数(也就是矩阵A的特征值)，就决定了该二次型具有的全部性质。

　　同一个实二次型X’AX，其标准型不唯一，但标准型中完全平方项的个数r是唯一的，同时r也就是二次型矩阵A的秩。

　　这里应该着重体会的是，正是利用实对称矩阵在相似变换上强有力的性质(必可正交对角化)，我们才得以将二次型化标准型的问题转化为矩阵求特征值特征向量的问题，而后者是之前就已经探讨清楚了的。

　　在得到实二次型的标准型后，还可对标准型中所有平方项的系数进行归一化，即得到规范型，一个二次型的规范性是唯一的。规范型只含平方项，且平方项的系数只有1，0，-1，实二次型的规范性由正惯性指数的个数p和负惯性指数的个数q决定，其中p+q=r为二次型矩阵的秩。规范型在形式上更为简单，一般常通过研究二次型的规范型来对其作出一些定性的判断。

　　正定二次型是无论自变量如何取值都能保证结果恒正的二次型，即对于任意非零的X，都有X’AX>0。判断一个二次型的正定性，一种选择是直接从定义出发，另一种方案可考虑利用规范型(因为无论正定负定都是一个定性而非定量的结论)，而实际上正定二次型的许多性质也确实能通过其规范型相联系，这是值得注意的。

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