2016考研高等数学重难点梳理

　　2016考研高等数学重难点梳理

　　刘纬宇——数学教研室

　　新考研大纲如约而至。对考生而言，关注点应从对考纲的关注转到如何更有效地复习上。笔者作为奋战在教学一线的数学老师，考虑到这阶段的同学已经历了基础阶段和暑期的复习，已具备一定基础，也对真题中的题型有一定了解，但未必形成知识体系，重难点也未必完全把握。所以，借助此次与广大考生交流的机会，梳理高等数学中的重难点，以期给正在全力攀登的考生搭一把手。

　　专题一 极限

　　考试对极限的考察以计算为主。下面我们梳理一下极限计算的方法。

　　1. 四则运算

　　此法可简要概括为“若极限式中每一部分(和差式中的每一项或乘除式的每个因子)的极限存在，则和的极限等于极限的和，差的极限等于极限的差，乘积的极限等于极限的乘积，商的极限等于极限的商(分母不为零)”。

　　而在实际做题过程中，我们往往不容易观察出每一部分的极限都存在，而是只观察出一部分的极限存在，这时能否利用四则运算法则往下写呢?我们需分成加和乘(减看成特殊的加，除看成特殊的乘)两种运算讨论：两个函数相加，取极限，若能观察出一项的极限存在，若另一项的极限存在，则由四则运算法则，和的极限等于极限的和，可以往下算;若另一项的极限不存在，可以证明(用反证法)整个极限不存在，也即“收敛+发散=发散”，而这种情况在真题中的极限计算题中还未出现过。综上，两个函数相加取极限，只要一项极限存在，就可以放心大胆地、一马平川地往下算。万一另一项的极限不存在呢?那回答整个极限不存在即可。下面讨论乘的情况，两个函数相乘取极限，若一个函数的极限存在，那得追问一句：极限值是否为0?若为0，则不能把该函数的极限算出(因为可能出现“0乘无穷”这种未定式);若极限值不为0，则后面的讨论类似于加的情况。

　　2. 洛必达法则

　　洛必达法则知名度很高。提起极限计算的方法，有同学别的方法想不起来，唯独对洛必达念念不忘，可谓情有独钟。到了这个阶段，对于此法，首先要注意条件。洛必达法则有三个条件：1)0分之0或无穷分之无穷型;2)分子、分母在一个范围(若极限过程为x趋近于一点，则“局部”为该点的某去心邻域)可导;3)分子、分母分别求导后的极限存在。具体函数仅判断第1)条一般不会出问题，因为第2)、3)条在多数情况下成立。但对抽象函数的极限问题要小心，可不可导，连不连续对洛必达法则的运用都有影响。此外，泰勒公式以强大著称，但有一种情况不得不请出不那么强大的洛必达法则帮忙，谁这么大牌?原来是含有变限积分的极限。一般得借助洛必达法则削去积分号。

　　3. 等价无穷小替换

　　这种方法大家都比较熟悉。首先要记住常见的等价无穷小替换公式。接下来就是广义化的思想方法(如x趋于0时，sinx等价于x，那么x的位置换成趋近于0的函数行不行?行!这就是广义化的思想)。再者，等价无穷小替换常在洛必达法则之前用，这样可以简化洛必达法则中的求导运算。注意，易错点是只有整个极限式的乘除因子才能替换。

　　4. 泰勒公式

　　泰勒公式可以说是计算极限的最强大的武器。有同学戏称“一把泰勒走天下，洛必达之类都是浮云”。确有几分道理。该公式有两种形式：带皮亚诺余项的公式和带拉格朗日余项的公式。前者用来算极限，后者用来证明。

　　算极限首先应记清8个常用的泰勒公式(exp(x),sinx,cosx,arcsinx,tanx,arctanx,

　　ln(1+x),(1+x)^a在0点展开的泰勒公式)，接下来就是带入、化简计算的功夫了。泰勒公式展示其威力的场合还有抽象函数。有一个信号会提示我们考虑泰勒公式，即题目中出现高阶导数(二阶及以上阶数的导数称为高阶导数)。

　　5. 幂指型函数的处理

　　幂指型函数是指底数位置和指数位置都有自变量的函数。此类函数在考试中可能让我们求极限或求导数。处理该类函数问题有万能的一招：指数对数恒等式转化。

　　6. 夹逼定理

　　首先要熟悉该定理的内容。有数列和函数两种形式。若一个数列夹在两外两个数列之间(并不要求对所有的n成立，对充分大的n成立即可)，且在n趋于无穷时，两头的数列收敛到同一个数，则中间的数列被逼迫着极限也存在且极限值为同一个数。函数形式的夹逼定理类似理解。

　　接着应熟悉一个结论：无穷小乘以有界量=无穷小。该结论是夹逼定理的推论。可用其解题。

　　最后，一种长得非常有型的极限计算题——n项分母互不相同的分式的和的极限，可考虑夹逼定理，也可能考虑定积分定义。限于篇幅，本文在此点到为止，不详述。

　　7. 单调有界定理

　　该定理内容并不难：单调递增且有上界的数列必有极限;单调递减且有下界的数列必有极限。此处需注意，不是严格的单调也可以。

　　该定理数一数二同学尤其要注意，因为真题在此处考过多次大题。该定理的一种比较典型的应用场合是递推式数列的极限问题。一般情况下，证明数列的极限存在就可考虑该定理。

　　专题二 不等式证明

　　不等式证明是真题中常考大题的地方，其中2014年的字母不等式的证明题有不少同学就找不到思路。下面我们梳理不等式证明的基本题型以及处理思路。

　　1. 基本思路

　　考虑一道题：证明f(x)>g(x),x属于(a,b)。如何证明呢?能否带入验证呢?即便有愚公移山的精神也不行!因为太行王屋二山再大，体积质量毕竟有限;而(a,b)中的实数确是真真切切的无穷多，所以带入验证的工作成了货真价实的“子子孙孙无穷匮也”。那有什么可行的思路呢?注意到，待证不等式可恒等变形为f(x)-g(x)>0,如果令F(x)=f(x)-g(x),进一步可化为F(x)>0,x属于(a,b)。如何证明一个函数在一个范围恒大于零呢?仅需证明其在该范围的最小值大于或等于0即可。而找一个函数在一个区间(考虑(a,b)对应的闭区间)上的最小值应该不难。

　　好，我们由此得到了证明函数不等式的基本思路：移项构造辅助函数，结合单调性证明该函数的最小值大于等于零即可。具体解题有什么步骤吗?基本步骤如下：1)移项构造辅助函数;2)计算区间端点处的函数值(常有一个端点处的函数值为0，不妨设左端点的函数值为0);3)仅需证明函数单增即可，也即证明导函数大于或等于0对于开区间成立。

　　2.若干变形

　　以上是函数不等式证明的基本思路，真题中有什么变形呢?首先，如果待证的不等式形式较复杂，得考虑先化简：若不等式两边有公因子，考虑约去公因子(考虑公因子的正负对不等号的影响);若待证不等式有分母，考虑去分母;若待证不等式是指数式，考虑不等号两边取对数。

　　其次，在第2)个计算步骤中，若端点函数值不存在，那怎么办?用极限代替即可。再者，“仅需证明函数单增”只是咱们的美好愿望，如果实现不了呢?从图像上看，已知函数在区间左端点的函数值为零，如果函数单增，那么函数在整个区间的图像确实是位于x轴的上方;而如果函数如果不是单增，那图像也有可能位于x轴的上方。换言之，函数单增仅是不等式成立的充分条件。不必担心，若愿望落空，回到最基本的思路即可：证明函数在区间上的最小值大于等于零即可。

　　3. 字母不等式

　　以去年的那道证明题为例，要证的是不等式，但不含x而含有字母a，b，如何处理?以往的真题中出现过x1、x2这些非x的字母。这类不等式统称字母不等式。处理方式出乎意料的简单：把其中一个字母看成常量，另一个字母看成变量(或者替换为x)，字母不等式就化为函数不等式，进而按照函数不等式的处理思路处理即可。赵本山的小品中老虎把乌龟看成穿上马甲的蛇闹出了笑话，咱们现在把字母不等式看成穿上马甲的函数不等式不仅不是笑话，而且是正确的处理方式。

　　4. 积分不等式

　　积分不等式长得比较吓人，但我要套用毛爷爷那句话：一切积分不等式都是纸老虎!这不是盲目自信，而是事实确是如此。积分不等式也属函数不等式，只不过穿上了积分这个马甲。处理思路是函数不等式的思路结合积分的性质。

　　专题三 中值定理

　　中值定理相关证明是考研数学认的重难点。以往这部分常考证明题这种大题。而近两年没考。去年的高数证明题考的函数不等式的证明，今年出乎意料地考了一个用导数定义证明求导公式的证明题。尽管近两年未考，但作为以前常考大题的考点，哪位同学又敢对这部分内容掉以轻心呢?好，这部分内容的重要性无需赘述，那我们应该如何去把握呢?

　　首先应该把这部分的定理内容弄清楚。习大大说：“打铁还需自身硬!”我们要用这些定理去证明别的结论，先要自己把这些内容弄透、弄熟。具体而言，这部分涉及的定理有：费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、零点存在定理、介值定理、最值定理和积分中值定理。前四个定理属于微分中值定理，中间三个定理属于闭区间上连续函数的性质，最后一个为积分相关定理。值得一提的是，除了闭区间上连续函数的性质这几个定理外，其余定理要求会证明。

　　接下来，应总结真题中考过的此类题目的处理思路。这项工作可以自己完成，但须花费一定时间。跨考教育数学教研室的老师把近三十年的真题收集起来，总结出解题思路，在此分享给各位考生。

　　中值相关证明是从条件出发还是从结论出发呢?大部分情况下应从结论出发。看待证的式子是含一个中值还是两个中值。若含一个中值，接下来再看，是否含导数。若含一个中值并且含导数，则优先考虑罗尔定理，接下来的思路就是构造辅助函数以及找两个点的函数值相等(注意这两个点未必是区间的端点，也可能是区间内部的点)。若含一个中值并且不含导数，那考虑闭区间上连续函数的性质，那块有两个常用的定理等着咱们——零点定理和介值定理。选哪个定理呢?小方法来啦!看待证的中值是位于闭区间还是开区间，若是闭区间，则选介值定理，因为介值定理结论就是中值位于闭区间;反之则选零点定理，因为零点定理结论就是中值位于开区间。

　　好，一个中值的思路说完了，下面考虑两个中值的情况。请问，若待证式子含两个中值，这是用了几次定理的结果?两次!为什么?因为用一次定理得到的式子只含有一个中值，即便复杂如柯西中值定理也不例外。所以，要出现两个中值，一定是用两次定理的结果。当然，用两次定理，肯定得到两个式子，最终的一个式子含两个中值应为前面得到的两个式子合并后的结果。那么，用哪个定理?根据对真题的分析，两个中值的情况一般考虑拉格朗日或柯西定理。具体是用的哪个定理?对哪个函数用的?这可以通过观察待证的式子得到。

　　总之，此类问题的思路有点像犯罪现场调查：出现这种结果，是如何造成的?谁是有嫌疑的函数，该函数是通过何种作案工具(定理)造成这种结果的。如果有这种体会，那么我们在做题的同时，也过了一把当福尔摩斯那样的大侦探的瘾。

　　当然，弄熟基本定理，也弄透了上述处理真题的思路，是否能轻松搞定全部真题呢?未必。真题中有各种变形，有了大致思路，还需把各个细节想清楚：如确定考虑罗尔定理了，那辅助函数如何构造，函数值相等的两点如何找?如确定了用拉格朗日或柯西定理，那辅助函数如何构造，具体选哪个定理?这些细节需要结合真题一步步想通，多练习才能掌握。

　　专题四 一元积分

　　一元积分包括三部分内容：不定积分、定积分和广义积分。下面逐一讨论。

　　1. 不定积分

　　不定积分主要考什么?概念、性质、计算?计算!下面就梳理一下不定积分的计算方法。该方法可总结为“一个基础两个方法”。所谓“一个基础”指：有理函数积分的处理方法;所谓“两个方法”指根式的处理方法和分部积分法。

　　何谓有理函数积分?即被积函数为有理函数的积分。而有理函数即分子分母分别为n次和m次多项式的函数。有理函数积分是整个不定积分计算的基础，因为很多其他类型的积分(如指数有理式积分、三角有理式积分等)可化为有理函数积分。考试直接考有理函数积分的可能性不大，但可能间接考，也就是在计算过程中的某一步用到有理函数积分的处理方法。那如何处理?简单说就是在老旧危房的墙壁上我们经常看到的那个字——拆。如何拆?教材和较权威的辅导书上都有讨论，总结起来有三种情况：被积函数若含有x-a这种一次因子，则被积函数拆出一项A/(x-a)，其中A为待定参数;若含有(x-a)^2这种二次因子，则被积函数拆出两项A/(x-a)+ B/(x-a)^2;若含有x^2+ax+b这种二次因子(该抛物线无零点)，则被积函数拆出一项(Ax+B)/(x^2+ax+b)。

　　接下来，讨论根式的处理。若被积函数含有根号，我们自然想到去根号。如何去根号取决于根号下面表达式的具体形式：如果根号下面是关于x的一次式子，那么整体令成t，就能达到去根号的效果;如果根号下面是关于x的二次式子，要去根号，我们可以考虑通过换元让根号下面整体出现一个平方，这时要借助一些三角恒等式，如根号下面是1-x^2，我们令x=sint就能达到效果;如果根号下面是其他形式，基本思路也是去根号，可类似上面考虑。当然，这里的“换元”更严格的表述是不定积分的换元，注意不光要把被积函数中的变量换掉，还要把微分号中的变量也换成新的积分变量。

　　说着说着就说到了考试的重点内容分部积分了。首先要把分部积分的公式弄清楚，可以这样形式地记忆：被积函数是两个函数的乘积，先把一个函数凑微分(从形式上看就是把这个函数拿到微分号中)，进一步等于新的积分式中的两个函数相乘减去两个函数交换位置。

　　接下来要处理好“何时用”和“怎么用”这两个问题。数学上的道理和生活中的道理是相通的：打游戏时想放大招，若把握不好这两个问题，那就可能出现不该放招时放了大招而该放大招时却没有大招了，也可能出现想放大招却放不出的囧境;打篮球时要用好自己的身体，如果这两个问题处理不好，就可能在不恰当的时间出现在不合适的位置，想为球队做贡献却总是添乱。那么什么时候想到用分部积分法呢?有两个信号(满足其一即可)：1)被积函数是不同类型函数之积;2)被积函数含有对数函数、反三角函数和多项式等求导后比自己简单的函数。

　　如果确定用分部积分法，那么u(x)和v'(x)的选取是个关键问题。如何选?观察分部积分公式，不难发现等号左边有u(x)，而等号右边会出现u'(x)，说明求导后比自己简单的函数适合作为u(x)，如lnx，arctanx和多项式等;另外，等号左边有v'(x)，第一步需要把v'(x)拿到微分号中，说明容易凑微分的函数适合作为v'(x)，如sinx，exp(x)等。

　　考试考不定积分计算主要考察根式的处理和分部积分法。有多种小的类型，如“一箭双雕”型(用变量代换这支箭射下根号和反三角函数这两只雕)，“相互抵消”型(两项单独用分部积分难以算出结果，但在计算过程中这两项能抵消)等。需大量练习才能达到熟练的要求。

　　2. 定积分

　　先说定积分的定义。几何意义是曲边梯形面积的代数和。特殊情况下(区间取[0,1]，等分，在每个小区间上取右端点处的函数值)的定积分定义可作为一个公式求一种特殊类型的极限——n项分母互不相同的分式的和的极限。此外，数一数二同学还需掌握微元法的基本思想。

　　再说定积分的性质。定积分的大部分性质在计算过程中经常用到，在此不必赘述。值得一提的是比较定理。该定理告诉我们，比较定积分的大小，在保证积分区间相同的情况下，实质上就是比较被积函数的大小。考试考定积分的比较本质上都是在考比较定理。

　　微积分基本定理从本质上解决了定积分的计算问题。根据牛顿—莱布尼兹公式，求定积分在被积函数连续的情况下只需求出被积函数的一个原函数，再计算其函数值之差即可。

　　下面我们说说定积分有什么特殊性质。首先是对称区间积分，我们比较熟悉的是被积函数是奇函数或偶函数时的性质，此外真题中出现了一种新的情形：被积函数有一个因子是偶函数且其余部分有特殊性质，也有相应的结论。可以记住这个结论，用它来做同种类型的题目。接着就是做变量代换后区间不变的情况。如被积函数为f(sinx)，积分区间为0到pi/2，若做变量代换：x= pi/2-t可得到另一个积分，从形式上看，相当于把原积分的sin换成了cos。这也可以为我们解题提供思路。此外，就是定积分的分部积分法。这里有若干种小的类型，如被积函数含有抽象函数的导函数f'(x), f'' (x)等，被积函数含有变限积分均可考虑定积分的分部积分法。另外，作为全面复习，“点火公式”(被积函数为sinx的n次幂，积分区间为0到pi/2)也不应放过。

　　3. 广义积分

　　广义积分不少同学不熟悉，实际上考研要求很明确：会用定义判断广义积分的敛散性;会计算广义积分。

　　定积分要存在需满足两条：积分区间有限且被积函数有界。破坏这些条件得到的积分称为广义积分。具体说来，无穷区间的广义积分有三种：积分上限为无穷，积分下限为无穷，积分上、下限均为无穷;无界函数的广义积分(也称瑕积分，因为被积函数在积分区间无界，在区间内部或端点处一定有让被积函数无界的点，这种“不好”的点我们称为瑕点)也有三种：瑕点在区间的左端点，瑕点在区间的右端点，瑕点在区间的内部。

　　广义积分收敛发散的定义的形式看起来较复杂，可以按照如下方式理解：把广义积分按照定积分的牛顿-莱布尼兹公式算出来(把正负无穷带入看成取极限，瑕点处的函数值也看成取极限)，如果结果是个数，则广义积分收敛;如果不存在，则广义积分发散。

　　这里要特别注意两类积分：积分上、下限均为无穷的广义积分和瑕点在区间的内部的广义积分。前者在用牛顿-莱布尼兹公式之前，要用0把积分区间拆成两个区间，进而把积分拆成两个积分，然后运用前面的方法讨论这两个积分的敛散性，原积分收敛的充要条件是这两个积分都收敛;后者要用瑕点把积分区间拆成两个区间，进而把积分拆成两个积分，然后运用前面的方法讨论这两个积分的敛散性，原积分收敛的充要条件是这两个积分都收敛。

　　广义积分的计算就是定积分加取极限。如果是上文提到的那两种特殊类型的广义积分，先拆成两个积分，再计算即可。

　　艰难困苦，玉汝于成。