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2015年考研高数:极限计算常用7种突围方法

来源: 跨考教育

2014-05-14 14:16:09

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  之前,我们已经在“2015年考研数学高数复习极限篇之极限概述”中详细说明了考研数学中极限这部分内容的考试要求、在考研中的地位以及常见题型,但是大多同学最关心的还是极限的计算到底有哪些常用的方法。跨考教育数学教研室田晓辉老师,就这个问题,将极限的常用计算方法总结归纳如下。

  计算极限的常用方法

  (一) 四则运算法则

  四则运算法则在极限中最直接的应用就是分解,即将复杂的函数分解为若干个相对简单的函数和、积和商,各自求出极限即可得到要求的极限。但是在分解的时候要注意:(1)分解的各部分各自的极限都要存在;(2)满足相应四则运算法则,(分母不能为0)。四则运算的另外一个应用就是“抓大头”。如果极限式中有几项均是无穷大,就从无穷大中选取起主要作用的那一项,选取的标准是选趋近于无穷最快的那一项,对数函数趋于无穷的速度远远小于幂函数,幂函数趋于无穷的速度远远小于指数函数。

  (二) 洛必达法则(结合等价无穷小替换、变限积分求导)

  洛必达法则解决的是“零比零“或“无穷比无穷”型的未定式的形式,所以只要是这两种形式的未定式都可以考虑用洛必达法则。当然,在用洛必达的时候需要注意(1)它的三个条件都要满足,尤其要注意第二三个条件,当三个条件都满足的时候才能用洛必达法则;(2)用洛必达法则之前一定要先化简,把要求极限的式子化成“干净”的式子,否则会遇到越求导越麻烦的情况,有的甚至求不出来,所以一定要先化简。化简常用的方法就是等价无穷小替换,有时也会用到四则运算。考生一定要熟记常用的等价无穷小,以及替换原则(乘除因子可以替换,加减不要替换)。考研中,除了也常常会把变限积分和洛必达相结合进行考查,这种类型的题目,首先要考虑洛必达,但是我们也要掌握变限积分求导。

  另外,考试中有时候不直接考查“零比零“或“无穷比无穷”型,会出“零乘以无穷”,“无穷减无穷”这种形式,我们用的方法就是把他们变成“零比零“或“无穷比无穷”型。

  (三) 利用泰勒公式求极限

  利用泰勒公式求极限,也是考研中常见的方法。泰勒公式可以将常用的等价无穷小进行推广,如等。也可以用来求解未知极限式中的未知参数,和解决抽象函数的极限。尤其是未知极限式中的未知参数,比起洛必达更适合用泰勒公式去做。

  (四) 幂指函数的极限计算方法

  幂指函数指的是,底数和指数都是函数的函数。对于幂指函数考研中经常考的题型是未定式的形式,如:。统一的处理方式是做恒等变形,从而只要能计算出极限就可以了。当然对于的形式除了用刚才那种方法,也可以用重要极限去做。对于用两种方法得出的结果都是,其中。把这个当结论记住,遇到的形式直接用就可以了。

  (五) 夹逼定理

  夹逼定理是极限这部分两个收敛准则之一,数一数二要求掌握并会用它求极限。数三要求了解极限存在的收敛准则,经常以求项和的极限这种形式出现或数列极限的形式出现。使用夹逼定理的核心在于放缩,即将要计算极限的函数或数列放大和缩小之后分别求极限,如果这两者的极限都等于同一个数,那么原先的函数或数列的极限也就等于这个数。这里在放缩的时候一般要遵循两个基本原则:一是要便于计算,二是要适度(也即放缩之后的极限必须一致)。夹逼定理主要用来求数列极限,对数一数二的要求高一些。

  (六) 单调有界定理

  单调有界定理是极限存在的另一个收敛准则。考研中的题型主要是证明一个数列极限存在,并求其极限常见于数一二,尤其是数二,11、12、13年连续三年考单调有界定理。这种类型题目,主要就是证明数列单调有界(单调递增有上界,单调递减有下界)即可。

  (七) 定积分定义

  考研中求项和的极限这类题型用夹逼定理做不出来,这时候需要用定积分定义去求极限。常用的是这种形式,只要把要求的极限凑成等是左边的形式,就可以用定积分去求极限了。

  以上是田晓辉老师对求极限的常用方法的归纳总结,希望对大家的学习有帮助,祝学习顺利!

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